Condizione necessaria e sufficiente
Dalle precarie informazioni in mio possesso so che :
1) L'enunciato A viene considerato condizione necessaria per B se la congiunzione di ¬ A con B è logicamente incompatibile.
2) A viene considerata condizione sufficiente per B se la congiunzione di A con ¬ B è logicamente incompatibile.
Queste informazioni in mio possesso sono corrette? Se lo sono, affinchè A sia condizione necessaria e sufficiente per B, si deve avere la contemporanea validità della due precedenti condizioni?
È possibile inoltre avere esempi di condizione necessaria, condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente, espressi in modo un po' chiaro per chi matematico non è?
16 gennaio 2004
Le definizioni ricordate dal lettore sono corrette; di solito tuttavia si dice più semplicemente che A è una condizione necessaria di B se B implica A, o logicamente o sulla base di una teoria di sfondo: B → A. B ^ ¬ A è una contraddizione, A → B A ^ ¬ B è una contraddizione.
Ma la validità di B → A è logicamente equivalente al fatto che
o come dice il lettore che B è incompatibile con ¬ A. Vuol dire che in presenza di B è necessariamente presente anche A. Forse sarebbe meglio dire "A condizione necessaria di B" invece che "A condizione necessaria per B", al fine di evitare l'impressione che si voglia alludere ad A come a qualcosa che permette di ottenere B, e quindi nel senso di "A implica B",che invece è il contrario.
vuol dire che A è condizione sufficiente per B, e di nuovo è equivalente a dire, come ricorda il lettore, che
Se A è condizione necessaria e sufficiente per B allora (B → A) ^ (A → B), vale a dire A ← B, o in altri termini A e B sono equivalenti.
Esempio:
"Che la cartina di tornasole diventi rossa è condizione necessaria perché la sostanza sia un acido" significa: "se la sostanza è un acido, la cartina di tornasole diventa rossa".
"Che la cartina di tornasole diventi rossa è condizione sufficiente perché la sostanza sia un acido" significa: "se la cartina di tornasole diventa rossa, la sostanza è un acido".
Gabriele Lolli
Dipartimento di Matematica, Università di Torino
