Bisognerebbe buttarli giù uno per uno. Ma se i domino sono disposti nel seguente modo, distanti tra loro meno della loro altezza, se un pezzo cade verso destra fa cadere verso destra quello adiacente. Se cade il primo, fa cadere il secondo, che fa cadere il terzo, e tutti cadono.

Così succede con l'induzione. Se si deve dimostrare che una proprietà A (n) vale per tutti i numeri naturali, si cerca di dimostrare che la proprietà è — come si suol dire — induttiva, o invariante, cioè si trasporta da un numero qualunque al successivo.

Questo è il senso della dimostrazione del cosiddetto passo induttivo

Se poi si sa che A vale per un numero, per esempio A (0), allora si può concludere, dalla base e dalla dimostrazione del passo induttivo, che A(n) vale per tutti i numeri naturali.

Nel caso dei numeri naturali la proprietà essere pari non è induttiva, altrimenti si dimostrerebbe che tutti i numeri sono pari. La proprietà che:

è induttiva, e vale per tutti i numeri naturali.

Nel secondo esempio dei domino, la proprietà cadere verso destra è induttiva, per il motivo che la distanza è minore dell'altezza; nel primo esempio non lo è. La base non si riferisce necessariamente solo a 0. Se a cadere verso destra non è il primo domino, ma il sesto a cadere saranno tutti i domino dal sesto in poi.

Se non si butta giù nessun domino naturalmente tutti rimangono in piedi, anche se la proprietà di cadere verso destra è induttiva. Dimostrare A (n) per ogni n (per induzione) significa dunque dimostrare due (altre) cose, A (0) e A (n) → A (n + 1); chi si prende carico di assicurarci che allora vale A (n) per ogni n , è la struttura dei numeri naturali N , in cui ogni numero si ottiene dal primo iterando un numero finito di volte l'operazione successore. Per altre strutture, per esempio per i razionali, non è disponibile questa tecnica dimostrativa.

Dal punto di vista logico è da tener presente quanto segue. L'obiettivo finale è quello di dimostrare che A vale per tutti gli n. Invece il passo induttivo non si riferisce a tutti gli n ma a uno, ancorché non precisato, generico, qualunque: per esso non si dimostra A (n), ma che se valesse A (n) allora varrebbe anche A(n + 1).

Si possono dare esempi in cui il passo induttivo si dimostra, ma la proprietà non vale per nessun n, perché non si ha anche una base di partenza. Si consideri per esempio la congettura (falsa) che:

Se si indica tale formula con A (n) si può dimostrare facilmente che A (n) → A (n + 1), ma A (n) è falsa per ogni n.