Prima di rispondere alla domanda vera e propria, desidero fare una piccola premessa storica. Intorno al 300 a.C. Euclide scrisse i suoi famosi Elementi. Si tratta di un manuale introduttivo alla matematica elementare, in particolare alla geometria, concepito in maniera ipotetico-deduttiva: dopo una serie di definizioni, che servono essenzialmente a introdurre gli oggetti di cui si tratterà (punti, rette, circonferenze ecc.), e postulati, proprietà cioè supposte vere per gli oggetti appena introdotti, si enunciano e dimostrano via via i vari teoremi e proposizioni.

Gli Elementi sono stati considerati per oltre 2000 anni l'opera più soddisfacente ed efficace dal punto di vista pedagogico, e la geometria euclidea è tuttora alla base dei programmi scolastici di geometria.

Euclide, dunque, chiama parallele due rette di uno stesso piano che non si incontrano mai, per quanto le si prolunghi. Inoltre Euclide postula (cioè, suppone vera fin dall'inizio) la proprietà che due rette, tagliate da una retta trasversale in modo da formare da una parte angoli alterni la cui somma è minore di due angoli retti, si incontrano proprio da quella parte (purché opportunamente prolungate). Successivamente Euclide dimostra che, dati una retta r e un punto P fuori da r, per P passa una e una sola retta parallela a r. Pertanto nella geometria euclidea esistono rette parallele a volontà e due rette parallele non hanno punti in comune.

Nel XVII secolo nacque la geometria analitica, a opera principalmente di Cartesio e Fermat, che introdussero le coordinate cartesiane nel piano euclideo. Una retta r del piano risulta allora descritta da un'equazione di primo grado del tipo ax + by + c = 0; dove a, b, c, sono opportuni numeri reali, con a e b non entrambi nulli.

Un punto P di coordinate (X,Y) appartiene a r se e solo se la coppia (X,Y) soddisfa la relazione aX + bY + c = 0. Data una seconda retta r', diversa da r, di equazione a'x + b'y + c' = 0, sarà parallela a r se e solo se la coppia (a, b) è proporzionale alla coppia (a',b'), cioè ab' = a'b. Ciò equivale matematicamente al fatto che il sistema delle due equazioni di r e r' non ha soluzioni.

Dall'Ottocento in poi i matematici introdussero nuove teorie geometriche, più adatte di quella euclidea in certe situazioni. Una di queste è la geometria proiettiva, che fu ideata da Girard Desargues fin dal Seicento, ma che fu formalizzata nell'Ottocento.

Nella geometria proiettiva al piano della geometria di Euclide si aggiungono dei punti all'infinito, detti punti impropri, uno per ogni direzione, ottenendo così il piano proiettivo. I vecchi punti sono detti punti propri. Ogni retta acquista così un nuovo punto e due rette del piano euclideo sono parallele se e solo se hanno lo stesso punto improprio.

Dal punto di vista analitico è possibile assegnare a ogni punto proprio o improprio del piano proiettivo una terna di coordinate [x₀ , x₁ , x₂ ] omogenee, cioè determinate solo a meno di un fattore di proporzionalità. Il punto proprio di coordinate (X,Y) ha coordinate omogenee [x₀ , x₁ , x₂ ], con x₀ diverso da 0, legate a X e Y dalle relazioni: X = x₁/x₀ , Y = x₂/x₀ .

Per esempio il punto (3,2) ha coordinate omogenee [1, 3, 2], oppure [2, 6, 4], [-1, -3, -2] ecc. I punti impropri hanno coordinate omogenee del tipo [0, x₁ , x₂ ], cioè la prima coordinata è nulla. Se la retta r è rappresentata dall'equazione ax + by + c = 0, la retta corrispondente r del piano proiettivo risulta formata da tutti i punti le cui coordinate omogenee soddisfano l'equazione ax₁ + bx₂ + cx₀ = 0. Oltre che dai punti propri di r, questa equazione è soddisfatta dal solo punto improprio [0, b, -a]. Lo stesso punto si ottiene partendo anche da qualunque retta parallela a r.

Desargues aveva osservato che, lavorando nel piano proiettivo, spesso molti risultati particolari venivano a fondersi in un unico teorema generale. Egli era interessato principalmente alla teoria della coniche, ma la sua intuizione si rivelò utile e fruttuosa in moltissimi problemi, ed è alla base della moderna geometria algebrica.

Una buona referenza in rete sulla geometria proiettiva, in italiano, è sul sito del Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna: http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometriaProiettiva/

Consiglio anche il libro C. Boyer, Storia della Matematica, Oscar Mondadori.