Premetto che, come molte altre parti della matematica, anche la trigonometria ha una storia che si perde nella notte dei tempi e si è sviluppata grazie al contributo di molti studiosi che hanno operato in epoche diverse e in diverse culture. Bisogna inoltre tenere presente che della sua storia più antica si possono solo seguire le tracce in modo discontinuo, basandosi su testi e trattati di matematica, o sulle notizie riportate in altre opere. Occorre anche sottolineare che la storia della matematica, come quella della scienza più in generale, non ha sempre avuto uno sviluppo lineare nel senso di un progresso: a volte ha subito un arresto e un regresso. Fare perciò uno schematico "specchietto riassuntivo" delle tappe fondamentali di questa storia è difficile e, secondo il mio modo di vedere, poco credibile. Tuttavia mi sforzerò di rispondere alla richiesta del lettore in maniera per lo meno riassuntiva.

La trigonometria stabilisce relazioni tra grandezze angolari e grandezze lineari. Già in epoca molto antica gli Egizi misuravano l'inclinazione di un piano rispetto a un altro (pensiamo per esempio all'inclinazione delle facce di una piramide, rispetto alla base) con un rapporto tra segmenti che oggi potremmo paragonare alla cotangente (questo si capisce ad esempio dal problema 56 del papiro di Rhind, scritto intorno al 1650 a.C.).

L'uso delle funzioni trigonometriche nasce però principalmente in astronomia (è da notare che gli antichi popoli della Mesopotamia, detti anche, per brevità, Babilonesi, si dedicano parecchio alle osservazioni astronomiche). Da ciò si può capire perché nasce prima la trigonometria sferica e dopo quella piana. Parliamo ora prevalentemente di quest'ultima.

Qui entrano in scena i Greci. L'astronomia presso i greci diventa una scienza ed è molto legata alla matematica, al punto di essere considerata parte integrante di essa. La prima opera sistematica sulle funzioni trigonometriche di cui si ha notizia è correlata alle corde del cerchio ed è dovuta all'astronomo greco Ipparco di Nicea, vissuto nel II secolo a.C.

Dato un cerchio di raggio fissato, ci si pone il problema di calcolare la lunghezza della corda relativa a un dato angolo al centro (per un cerchio di raggio unitario, la lunghezza della corda relativa a un angolo di ampiezza x, con le notazioni attuali è data da 2 sin (x/2)). Ipparco tabula i valori delle corde degli archi circolari e per questo è ricordato come il fondatore della trigonometria. Nel I secolo d.C. il matematico greco Menelao produce altre tabelle riportanti i valori delle corde; quest'opera è andata perduta, mentre una sua opera sulla trigonometria sferica si è conservata ed è la più antica opera nota su tale argomento. In quest'opera si dimostra un famoso teorema di trigonometria sferica, noto ora come teorema di Menelao, che nel caso piano (forse già noto ai suoi predecessori) afferma che se i lati AB, BC, AC di un triangolo (o i loro prolungamenti) sono tagliati da una trasversale rispettivamente nei punti D, E, F, allora è verificata l'uguaglianza:

AD·BE·CF = BD·CE·AF.

L'opera trigonometrica più influente e significativa dell'antichità è la Sintassi Matematica (o Almagesto) del famoso astronomo alessandrino Tolomeo (circa II secolo d.C.), che riporta delle tavole sulle corde molto accurate. Seguendo la tradizione dei Babilonesi, probabilmente seguita anche da Ipparco, Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120 parti. Egli, come i suoi predecessori, usa per il calcolo delle corde una variante della relazione fondamentale che ora indichiamo con: sin²x +cos²x =1 (che deriva ovviamente dal teorema di Pitagora).

Nei calcoli delle corde di Tolomeo ha un ruolo centrale una proprietà dei quadrilateri detta oggi teorema di Tolomeo (la somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio è uguale al prodotto delle diagonali). Da essa si possono oggi ricavare le 4 formule per calcolare seno e coseno della somma e della differenza di due angoli, oggi dette formule di Tolomeo.

Egli conosceva anche la proprietà che attualmente si esprime con le uguaglianze: a/sin A = b/sin B = c/sin C (dove: a, b, c sono i lati di un triangolo opposti agli angoli A, B, C). Tolomeo inscrive nel cerchio poligoni di 3, 4, 5, 6 e 10 lati e ciò gli permette di calcolare le corde sottese da angoli di 120, 90, 72, 60 e 36 gradi. Poi utilizza nelle sue tavole le formule per la corda della somma e della differenza di due angoli (paragonabili a quelle attuali per il seno della somma e della differenza) e applica un metodo per trovare la corda sottesa dalla metà dell'angolo di una corda data. In questo modo, con un'interpolazione, riesce a calcolare corde con un buon grado di approssimazione.

Passiamo ora agli Indiani o Indù. La prima apparizione dell'attuale seno di un angolo si ha nell'opera del matematico indiano Aryabhata (circa nel 500), che tabula i valori di mezze corde, che egli indica con il simbolo jiva. Le stesse tabelle appaiono nell'opera del matematico indiano Brahmagupta (nel 628), mentre il matematico indiano Bhaskara nel 1150 descrive in un suo testo un metodo dettagliato per il calcolo di tabelle di seni per ogni angolo. Tuttavia i matematici indiani non facevano trattazioni sistematiche.

Vediamo ora cosa fanno gli Arabi. Essi, dopo un primo periodo in cui proseguono con l'uso delle corde fatto da Tolomeo, adottano l'uso indiano di lavorare con la funzione seno. Nel 980 con Abu'l-Wafa la trigonometria riassume una forma più sistematica, in cui vengono dimostrati risultati come le formule di bisezione e di duplicazione (per le funzioni trigonometriche).

Il termine indù jya (per l'attuale seno) viene trasformato in arabo, per assonanza, in jiba, parola senza significato. In seguito, però, gli Arabi adottano il termine jaib, che significava "piega". Quando gli autori europei traducono le opere matematiche in latino, questa parola diventa sinus, che significava appunto anche "piega". A volte si usava il termine sinus rectus arcus. Per inciso, bisogna dire che le funzioni tangente e cotangente (delle quali sembra arduo attribuire una paternità precisa) si sono sviluppate nei contesti in cui era utile calcolare la lunghezza di un'ombra proiettata da un oggetto (per esempio nelle meridiane e per calcolare l'altezza di un edificio; ricordiamo che Talete, nel VII-VI secolo a.C. misura l'altezza delle piramidi proprio paragonando la loro ombra con quella proiettata da un bastone piantato per terra). Le più antiche tavole di ombre di cui si ha notizia sono quelle prodotte dagli Arabi nel 860 circa. In latino, per indicare tali valori si usano poi i termini umbra recta e umbra versa.

L'astronomo tedesco Johannes Müller (1436-1476), detto Regiomontano, pubblica nel 1533 l'opera De triangulis omnimodis, un'esposizione sistematica dei metodi per risolvere problemi relativi a triangoli, che contiene risultati di trigonometria piana e sferica e che segna la rinascita della trigonometria. In particolare tratta il seno e la sua funzione inversa. Essa pare abbia influenzato, attraverso i contatti con il matematico prussiano Georg Joachim Rheticus, l'astronomo polacco Niccolò Copernico (1473-1543) che nel suo famoso trattato De revolutionibus orbium coelestium (1543) riporta ampie parti di trigonometria. Rheticus scrive inoltre il trattato di trigonometria più elaborato fino allora prodotto, l'Opus Palatinum de triangulis (pubblicato postumo nel 1596), in cui riporta tutta la trigonometria utile per l'astronomia. Qui egli abbandona la tradizionale considerazione delle funzioni rispetto all'arco del cerchio e concentra l'attenzione sui lati del triangolo rettangolo, usa tutte e sei le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) e produce tavole molto elaborate.

Da questo momento la trigonometria si sviluppa prevalentemente in Europa, con un costante sviluppo, fino al secolo XVIII. Dopo il seno, la funzione trigonometrica più usata in tutto questo periodo è il seno verso, che ora non si usa più, definibile in notazioni attuali come segue: versin(x)=1-cos x. Essa corrisponde al seno ruotato di 90 gradi. Per indicare il coseno di un angolo, il matematico francese François Viète (1540-1603) usa il termine sinus residuae (ricordiamo che la lingua di comunicazione scientifica ufficiale, almeno fino al XVIII secolo, era il latino), mentre l'inglese Edmund Gunter suggerirà nel 1620 il termine cosinus. Quanto alla notazione per il seno di un angolo, Gunter, nel 1624, è il primo ad usare l'abbreviazione sin in un disegno, mentre nel 1634 il matematico francese Pierre Hérigone la usa in un libro. Il termine tangente viene usato per primo dal matematico danese Thomas Fincke nel 1583 e cotangente da Gunter nel 1620. Fincke è il primo a pubblicare la formula della legge delle tangenti.

Viète può essere considerato il padre di quel metodo analitico per trattare la trigonometria che viene anche detto goniometria. Egli deriva, con un metodo diverso da quello consistente nell'applicare ricorsivamente le formule di Tolomeo, le formule per determinare sin(nx) e cos(nx). Inoltre applica la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, tra cui quello della trisezione dell'angolo. Ricava anche alcune delle formule dette oggi di prostaferesi (formule che trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in una somma) o di Werner (dal nome di Johann Werner, 1468-1522, matematico tedesco); pare che tali formule fossero già note parzialmente agli Arabi, ma l'uso generale di esse prevale solo verso la fine del XVI secolo.

Alla fine del XVI secolo e all'inizio del XVII secolo si ha un grosso entusiasmo per la trigonometria, con la conseguente produzione di manuali e compendi. Il termine trigonometria appare per la prima volta nel titolo del libro Trigonometria di Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) nel 1595. Proprio in quegli anni si inventano i logaritmi; uno dei principali artefici della nascita dei logaritmi è lo scozzese John Napier (1550-1617), affascinato pare proprio dal metodo di prostaferesi.

Nel XVIII secolo si cominciano a studiare le funzioni trigonometriche di variabile complessa. I matematici svizzeri Johann Bernoulli (1667-1748) e Jakob Bernoulli (1654-1705) riscoprono le serie per sin(nx) e cos(nx) già note a Viète e le estendono (senza pensarci troppo su) anche a valori razionali di n. Nel 1702 Johann Bernoulli trova la relazione tra l'arcotangente e il logaritmo in campo complesso. Nello stesso periodo il francese Abraham De Moivre stabilisce la formula che oggi porta il suo nome: (cos(x)+i sin(x))ⁿ = cos(nx)+i sin(nx) e che lega la trigonometria all'analisi.

Il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) dimostra la formula: exp(i x) = cos(x) + i sin(x), equivalente a quella forse già nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716), nella versione: i x = log(cos x + i sin x) e grazie a tale relazione Euler chiarisce varie proprietà dei logaritmi in campo complesso. Le funzioni trigonometriche iperboliche vengono infine introdotte grazie al matematico italiano Vincenzo Riccati (1707-1775) e successivamente del tedesco Johann Heinrich Lambert (1728-1777).

Bisogna infine dire che il termine radiante appare per la prima volta stampato nel 1873, da parte di James Thomson, fratello di Lord Kelvin. Altri matematici del periodo avevano proposto altri termini. Per quel che riguarda, però, la storia del concetto di misura in radianti di un angolo, qualunque nome avesse prima, non è molto chiara. L'uso di misurare gli angoli in gradi perdura per un certo tempo tra i matematici della prima metà dell'Ottocento, accanto a quello di misurarli in radianti: un po' come era accaduto per la notazione numerica romana accanto a quella indo-araba.

Per approfondire l'argomento, si consiglia di consultare il seguente volume: C.B. Boyer (con una introduzione di L. Lombardo Radice), Storia della matematica, Mondadori, Milano 1976 (ristampa dell'edizione italiana 2000), pp. 744.