L'incognita è la funzione y(x) e la relazione a cui deve soddisfare è:

cioè, la derivata prima di y(x) meno la funzione stessa deve dare come risultato la funzione identicamente nulla, cioè la differenza deve valere 0 per ogni x.

In generale un'equazione differenziale del primo ordine è una relazione che lega la derivata prima, la funzione stessa e la variabile indipendente x, cioè:

Nell'esempio F(y', y, x) = y' - y   (y' ≡ dy/dx).
Naturalmente la situazione può essere generalizzata coinvolgendo le derivate d'ordine successivo.

Il problema delle equazioni differenziali nasce con la formulazione della seconda legge di Newton della meccanica, cioè

dove F rappresenta la forza agente su una particella, m la massa e a l'accelerazione.

Infatti l'accelerazione è legata allo spostamento da una relazione differenziale. Sia x(t) la posizione nello spazio al tempo t di un punto materiale di massa m, soggetto a una forza F che supponiamo dipendere soltanto dalla posizione del punto stesso. Poiché l'accelerazione è legata alla posizione dalla relazione differenziale

dalla legge di Newton ricaviamo:

Quindi nota la forza F abbiamo una relazione che lega la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo allo spostamento stesso. Abbiamo quindi una relazione che coinvolge la derivata seconda di x(t). Questa relazione si chiama equazione differenziale del secondo ordine. In linea di principio nota la forza è possibile determinare il moto della particella soggetta a questa forza.

I problemi matematici collegati con le equazioni differenziali sono molteplici. Si tratta di stabilire sia teoremi di esistenza e unicità, sia di studiare il comportamento delle soluzioni. In realtà, affinché la soluzione, se esiste, possa essere unica occorre specificare il valore delle funzioni incognite in un punto. Infatti, riconsideriamo il problema iniziale:

Ogni funzione del tipo esponenziale k e^x, con k costante arbitraria risolve il problema. Cioè tutte le funzioni k e^x verificano la relazione differenziale. Se invece specifichiamo il valore della funzione in un punto: y' - y = 0 e y (0) = 2, in questo caso nello 0, otteniamo k = 2. Cioè la soluzione del problema:

è la funzione 2 e^x. Problemi di questo tipo si chiamano problemi ai valori iniziali.

Nel caso delle equazioni della meccanica, poiché si tratta di equazioni che coinvolgono le derivate seconde, bisogna assegnare il valore della funzione x(t) e della derivata dx(t)/dt a un certo tempo, usualmente l'istante iniziale t = 0, da cui il nome del problema.

Sulle equazioni differenziali c'è una letteratura sterminata. Personalmente non conosco nessun libro a carattere puramente divulgativo.