Generalizzazioni del teorema di Pitagora
Vi sono vari modi di estendere il teorema di Pitagora a un triangolo qualunque, come la cosiddetta forma generalizzata, il teorema di Carnot, il quadrato della somma vettoriale. Ma queste relazioni contengono, oltre ai quadrati dei tre lati, un quarto termine di tipo diverso.
Qualche giorno fa, applicando questi teoremi per altri motivi, ho scorto un ampliamento del teorema di Pitagora abbastanza omogeneo.
Se sono a e b i lati, d1 e d2 le diagonali, α e (π- α) gli angoli interni di un parallelogramma, il teorema di Carnot fornisce
d12 = a2 + b2 - 2ab cos(α) e d22 = a2 + b2 + 2ab cos(α), la cui semisomma vale a2+b2 = (d2)m, dove (d2)m = (d12+d22)/2.
La conclusione è che in un parallelogramma la somma dei quadrati dei lati a e b è uguale alla media quadratica delle due diagonali. In un rettangolo questo risultato coincide col teorema di Pitagora poiché
d1 = d2. Indipendentemente dalle esigenze di calcolo di particolari parametri, la forma a2+b2 = (d2)m mi sembra la naturale estensione del teorema di Pitagora ai triangoli generici, essendo questi dei semiparallelogrammi.
Vi chiedo se esiste una diversa generalizzazione che somiglia maggiormente al teorema di Pitagora.
12 agosto 2003
Questa generalizzazione del teorema di Pitagora è corretta. Un'ulteriore estensione è contenuta nell'opera del matematico greco alessandrino Pappo (IV secolo d.C.): essa non solo vale per triangoli qualsiasi, ma considera, anziché le aree dei quadrati costruiti sui lati, le aree di parallelogrammi qualsiasi aventi un lato in comune col triangolo.
Dato, come in figura, un triangolo ABC, e considerati i parallelogrammi AEDB (sul lato AB) e BCFG (sul lato BC), Pappo indica come costruire geometricamente un parallelogramma ACMN sul lato AC in modo che la sua area sia pari alla somma delle aree degli altri due. Ecco i passi del procedimento:
AC:CB' = BC:AC e AB:BC' = BC:AB, da cui si ricava AC2 + AB2 = BC (CB' +BC'). Nel caso in cui l'angolo in A è retto, si ha che B'= C', e la formula precedente corrisponde ancora al teorema di Pitagora. 
Dato, come in figura, un triangolo ABC, e considerati i parallelogrammi AEDB (sul lato AB) e BCFG (sul lato BC), Pappo indica come costruire geometricamente un parallelogramma ACMN sul lato AC in modo che la sua area sia pari alla somma delle aree degli altri due. Ecco i passi del procedimento:
- Determinare il punto di intersezione H delle rette ED e FG.
- Condurre da A e C le parallele r e s alla retta HB.
- Determinare i punti d'intersezione L e K tra r ed ED e tra s e FG rispettivamente.
- Determinare il simmetrico N di L rispetto ad A ed il simmetrico M di K rispetto a C.
Quando un quadrilatero ciclico è un parallelogramma, è necessariamente un rettangolo: infatti, per ovvie ragioni di simmetria, le sue diagonali passano per il centro, sono, cioè, diametri, ed in quanto tali sono uguali. In tal caso il teorema di Tolomeo assume la forma del teorema di Pitagora:
Infine, si può ricordare la generalizzazione data dal matematico arabo Tabit ibn Qorra (IX secolo d.C.). Dato un triangolo qualunque ABC, se, come in figura, gli angoli CAB, AC'B e AB'C sono uguali, i triangoli ABC, AC'B e AB'C sono simili. Pertanto
Margherita Barile
Dipartimento di Matematica, Università di Bari
Keywords:
geometria,
storia e personaggi della matematica
