Le due affermazioni citate, prese alla lettera, non sono corrette, in quanto i teoremi di Gödel non si applicano a "ogni" sistema logico-formale, ma solo ai sistemi formali "sufficientemente potenti", ossia in grado di formalizzare almeno parti significative dell'aritmetica. Vi sono vari sistemi formali che sono decidibili e sintatticamente completi (ossia, per ogni formula chiusa A, si può dimostrare A o la negazione di A). Il teorema di Gödel si applica, per esempio, a un sistema formale F che corrisponde all'assiomatizzazione di Peano per l'aritmetica.

La proposizione indecidibile G di Gödel non è facile da "intuire", poiché è una formula chiusa del sistema F la cui "interpretazione" è "G non è dimostrabile in F" e si riesce a dimostrare che G non è né dimostrabile, né refutabile (un esempio più semplice: il V postulato di Euclide non è né dimostrabile né refutabile relativamente al sistema formato dai restanti assiomi della geometria euclidea).

L'analogia con "l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi" può essere fuorviante in quanto l'antinomia di Russell mostra la contraddittorietà della teoria "ingenua" degli insiemi, in particolare del principio di comprensione (esiste l'insieme degli insiemi che godono di una proprietà relativa agli insiemi). La strategia di Gödel è stata quella di riprodurre all'interno di un sistema come F l'antinomia del mentitore formulata, anziché relativamente al concetto di verità, al concetto di "dimostrabilità" ("io non sono dimostrabile" anziché "io mento"). Poiché una proposizione è vera o falsa, quella del mentitore è una vera e propria antinomia. Relativamente alla dimostrabilità non si ha una contraddizione poiché una proposizione può essere al contempo non dimostrabile e non refutabile.

In matematica non si può "dimostrare" una proposizione falsa, poiché "dimostrare" P significa far vedere che P segue logicamente dalle premesse A (e non che "P è vera"). Un teorema di logica afferma allora che se A sono vere (in una interpretazione), lo è anche P (nella stessa interpretazione). È vero che non si può dimostrare che "2+2=5" non segue dagli assiomi F con metodi interni al sistema (altrimenti si otterrebbe una dimostrazione della coerenza di F contro il secondo teorema di Gödel); l'affermazione 2+2=5 è falsa "nei numeri naturali". Nella citazione sarebbe stato forse più appropriato affermare che 2+2=5 "contraddice" 2+2=4 e i "risultati" 4 e 5 come teoremi di F (se in F si potesse dimostrare 2+2=5, allora F sarebbe un sistema contraddittorio).
Si noti infine che, nei teoremi di Gödel, la coerenza di F è assunta come ipotesi: in un sistema contraddittorio non vi sono proposizioni indecidibili in quanto ogni proposizione è un teorema.