Due interi positivi m,n si dicono amicali (in inglese amicable) se:

      s(m) = s(n) = m + n

dove s(x) è la somma di tutti i divisori di x. Se definiamo la funzione f(x):

      f(x) = somma dei divisori di x minori di x

equivalentemente

      f(x) = s(x) - x 

allora m,n sono amicali se e solo se

      n = f(m)     m = f(n) 

La prima coppia di numeri amicali che si incontra è (220, 284). Infatti:

 f(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 f(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 

Questa coppia era nota già a Pitagora, e forse prima. Il grande matematico arabo Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani (826-901) dimostrò il notevole teorema:

      fissato n intero positivo, se i numeri:     p = 3 2n-1 - 1     q = 3 2n - 1     r = 9 22n-1 - 1     sono tre primi dispari, allora la coppia (a,b)     con a = 2npq e b = 2nr     è una coppia di numeri amicali 

Si tengano a mente due fatti:
1) dato un certo n si ottiene una coppia amicale solo se p, q, r sono tutti primi
2) non tutte le coppie amicali provengono da questo teorema; per esempio (1184, 1210) non si trova.

Fermat nel 1636 annunciò di avere trovato la coppia (17296,18416), che però era sicuramente già nota all'arabo Ibn al-Banna de Marrakech (1256-1321), e probabilmente anche al citato Thabit ibn Qurra, poiché si ottiene dalla sua formula per n = 4.
Descartes trovò (9363584, 9437056), che si ottiene dalla solita formula per n=7.
Eulero pubblicò nel 1750 una lista comprendente 60 coppie di numeri amicali, ignorando curiosamente la seconda in ordine di grandezza (1184, 1210), che venne poi scoperta da Paganini nel 1866 all'età di 16 anni.
In ogni riga della tavola sottostante c'è, nella prima colonna, il numero di tutte le coppie amicali esistenti al di sotto del limite indicato nella seconda colonna.

1	103
5	104
13	105
42	106
108	107
236	108
586	109
1427	1010
3340	1011
7642	1012

Si osserva — in questo insieme di dati — che passando da un ordine di grandezza a quello superiore il numero delle coppie amicali è ogni volta più che raddoppiato. Per esempio ci sono 1427 coppie di numeri amicali minori di 10¹⁰ e 3340 minori di 10¹¹, con rapporto 3340/1427 maggiore di 2,34.
Un passo avanti decisivo nelle ricerche sulle coppie amicali è stato fatto da Mariano Garcia, in un articolo (A million New Amicable Pairs) del 2001 pubblicato sul prestigioso Journal of Integer Sequences.
L'articolo di Garcia contiene anche una interessante introduzione storica, nella quale vengono citati i matematici che più si sono occupati dell'argomento. Tra questi Jan Pedersen mette a disposizione sulla rete un elenco completo delle coppie amicali note.
Questo elenco contiene tutti i dati che gli sono stati inviati, ed è easustivo fino a 10¹⁴.
L'8 maggio 2003 l'elenco conteneva 5 053 129 coppie.
Si congettura che ci siano infinite coppie di numeri amicali, ma non è dimostrato.
È affascinante lo studio del sistema dinamico discreto costituito dall'insieme dei numeri naturali e dalla funzione f definita all'inizio di questo articolo.
La dinamica è molto semplice: si parte da un valore iniziale x₀ e si applica iterativamente la funzione f, ottenendo la successione:

      x0, x1 = f(x0), ...,        xn = f(xn-1),.. 

Per esempio, se si parte con x₀ = 190, si ottiene:

      190, 170, 154, 134, 70, 74, 40, 50, 43, 1, 0 

Si arriva a 0 in 10 passi. Si noti che f(1) = 0, e f(p) = 1 per ogni primo p, mentre f(0) non è definito; l'iterazione si ferma se si arriva a 0.
Partendo da uno x₀ qualsiasi, si possono prevedere tre diversi tipi di comportamento per il nostro sistema dinamico. La successione degli x_i può:

      1) arrivare a 0, come quella che parte da 190     2) entrare in un ciclo più o meno lungo, e ripetersi all'infinito     3) crescere al di là di ogni limite finito 

Nel caso 2) si distinguono tre sottocasi:

      2.1) il ciclo ha lunghezza 1, ...a, a, a, ...     2.2) il ciclo ha lunghezza 2, ...a, b, a, b, ...     2.3) il ciclo ha lunghezza maggiore di 2, ...a, b,.., z, a, b,..z,a,... 

Il caso 2.1 occorre quando a = f(a); i numeri con questa proprietà sono i numeri perfetti.
Il caso 2.2 si ha se f(a) = b e f(b) = a: pertanto i cicli di lunghezza due sono esattamente le coppie di numeri amicali che abbiamo studiato.
Il caso 2.3 è più complicato. Sono state fatte (ultimi dati febbraio 2003) ricerche sulle lunghezze dei cicli da P. Moews, D. Moews e Jan Pedersen. Sono stati trovati 127 cicli, 120 di lunghezza 4, 1 di lunghezza 5, 2 di lunghezza 6, 2 di lunghezza 8, 1 di lunghezza 9, e1 di lunghezza 28.
Catalan e Dikson congetturarono che il caso 3 non si presenti mai.
Oggi, in base ai dati sperimentali ea considerazioni euristiche, si pensa invece che gran parte delle successioni che partono con un numero pari rientrino nel caso 3, cioè crescano senza limite.
Questo non è stato ancora dimostrato, però H.W. Lenstra ha provato che è possibile costruire successioni crescenti monotone di lunghezza finita qualsiasi,applicando iterativamente la f a opportuni valori iniziali.
Il numero più piccolo del quale non sappiamo ancora la sorte è 276: nessuno sa se partendo da 276 si arriverà a 0, si entrerà in un ciclo o si andrà sempre, sempre più in alto, senza fine...