Nel Dialogo intorno ai due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano, pubblicato nel 1632, Galileo pone in bocca a Salviati, che, fra gli interlocutori è il portavoce di Galileo, il brano seguente:

"Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che questa, quando le lontananze siano eguali; e saltando voi, come si dice, a pie' congiunti, eguali spazi passarete verso tutte le parti. Osservato che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio vi sia che mentre il vascello sta fermo non debban succeder così, fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché, pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e là, voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso poppa che verso prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l'opposto; le goccioline cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è in aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la susseguente parte del vaso, ma con agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accadrà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi in aria, saranno separate (...)".

Galileo era un convinto assertore della validità del sistema copernicano, che, come si sa, rimuove la Terra dal centro dell'universo — dove la collocava il sistema tolemaico — e le attribuisce un moto di rotazione diurno attorno a un asse fisso e un moto di rivoluzione annuo attorno al Sole. Gli oppositori — i sostenitori del sistema tolemaico — obiettavano che un moto della Terra avrebbe avuto degli effetti osservabili, che invece non si riscontravano: per esempio, corpi lasciati cadere al suolo da una certa altezza, diciamo dall'alto di una torre, non sarebbero dovuti cadere ai suoi piedi, come invece visibilmente accade, perché, nel corso della caduta, la Terra si sarebbe spostata sotto di loro, lasciandoli per così dire indietro.
Il brano di Salviati propone, per ricorrere a una terminologia in uso, una piccola serie di esperimenti, mentali, o pensati, che, se svolti effettivamente darebbero il risultato descritto, come concorderebbero con ogni probabilità i suoi lettori sulla base di precedenti esperienze fatte senza troppo rifletterci sopra.
Ebbene, nell'esito di quegli esperimenti è la chiave per confutare le argomentazioni degli oppositori del sistema copernicano.
Essi mostrano infatti che un moto — nel brano galileiano quello della nave — non produce necessariamente effetti dinamici osservabili: tutto si svolge, nella stiva della nave in moto, come si svolgerebbe se la nave fosse ferma. In particolare, le "gocciole" cadono ai piedi del "secchiello" che le versa indipendentemente dal moto della nave.
Con un'importante precisazione, tuttavia: che il moto sia, per usare i nostri termini, rettilineo uniforme, altrimenti si farebbero sentire gli effetti dell'accelerazione. Per esempio rispetto a una macchina soggetta a forte accelerazione un oggetto non cadrebbe lungo la verticale.

Fin qui Galileo, a parte il riferimento a un mobile dotato di motore a scoppio. Nel corso dei secoli si è poi introdotta un po' di terminologia e si sono ulteriormente approfondite o anche solo precisate alcune questioni.

La terminologia: usiamo il termine sistema di riferimento per denotare il corpo solido, o rigido, cui stiamo riferendo i moti in studio: la nave ferma rispetto alla Terra, e dunque la Terra stessa, nella prima parte del brano, la nave nella seconda (i moti sono poi, naturalmente, quelli delle "gocciole" o degli "animaletti"). Schematizziamo poi un sistema di riferimento con una terna di assi cartesiani ortogonali. Nel caso della nave, possiamo immaginarli tracciati lungo i tre spigoli della "maggior stanza" in cui si immagina di compiere gli esperimenti. Rispetto a quella terna un oggetto che si possa considerare come puntiforme, come una goccia, è individuato da tre coordinate (appunto le sue tre coordinate cartesiane ortogonali).
Gli approfondimenti o precisazioni: per cominciare, che cosa vuol dire fermo? Più specificamente, che cosa vorrà dire che un sistema di riferimento (schematizzazione di un corpo solido) è fermo? Fermo rispetto a che cosa? Mettendo da parte la storia, che è alquanto complicata, potremmo intanto dire: fermo vorrà dire che la terna cartesiana che lo rappresenta non deve ruotare rispetto alle masse lontane dell'universo, le cosiddette stelle fisse.
Potremo poi aggiungere: lo vogliamo anche fermo rispetto al baricentro dell'insieme di quelle masse (queste considerazioni sono soggette a una quantità di critiche, e ci fermiano a questo livello solo per cercare di rendere semplice un discorso alquanto complicato). Ecco che il sistema così sommariamente individuato finisce per sostituire in questo discorso più ampio la nave ferma — e dunque la Terra — del brano galileiano.
Ma allora — riformuliamo la conclusione galileiana in questo contesto più ampio — nessun esperimento potrà evidenziare, rispetto a quel sistema di riferimento, uno stato di moto, purché rettilineo uniforme, di un qualsiasi altro un sistema di riferimento.

Di nuovo un po' di terminologia: chiamiamo sistemi di riferimento inerziali tutti questi sistemi, incluso quel primo. Che di fatto è un primus inter pares nel senso che non ha nessuna riscontrabile posizione di privilegio rispetto agli altri. Possiamo allora enunciare quello che si chiama comunemente un principio di relatività:
Esperimenti condotti nelle stesse condizioni in un qualsiasi sistema inerziale danno gli stessi risultati.
Posto che identifica una condizione di equivalenza (fra sistemi di riferimento), la denominazione principio d'equivalenza sembrerebbe più indicata, anche perché col passare dei secoli l'attenzione si è allontanata dall'iniziale obiettivo galileiano, quello di dimostrare la non rivelabilità di un moto assoluto, concentrando invece l'attenzione sul contenuto dell'enunciato appena dato. La cosa non ci è permessa dalla circostanza che la denominazione è già stata presa in prestito per denotare un altro principio fisico.

Le leggi della fisica si esprimono in linguaggio matematico, cioè si scrivono per mezzo di formule che legano fra loro i simboli che rappresentano le varie grandezze fisiche. Ora, in generale le grandezze fisiche non hanno lo stesso valore in diversi sistemi di riferimento. Per esempio, la velocità di un viaggiatore rispetto al treno lungo un corridoio del quale sta camminando non è la stessa di quella che ha rispetto al suolo. Ma è così già anche per le stesse coordinate. Per formalizzare la cosa, schematizziamo i sistemi di riferimento della Terra (del suolo) S e del treno S' — che sono inerziali finché si possa trascurare il moto di rotazione della Terra e il moto del treno si possa considerare rettilineo uniforme — mediante due terne cartesiane ortogonali parallele ed equiverse.
Immaginiamole anche orientate in modo che il moto del treno si svolga nella direzione (e verso) dell'asse delle ascisse, direzione, per quanto appena detto, comune ai due sistemi. Il centro della carrozza su cui si trova il viaggiatore (origine del sistema di riferimento S') passi per un punto definito della stazione (origine del sistema di riferimento S) a velocità v costante a un istante iniziale t₀. Ci domandiamo quale sarà la relazione fra le coordinate ascisse x e x' che il viaggiatore ha, rispetto al sistema S e al sistema S', all'istante generico successivo t.
Ebbene, dato che il treno si muove di moto rettilineo uniforme a velocità v, l'origine di S' avrà percorso, all'istante t, rispetto all'origine di S, un tratto vt. Per avere il valore dell'ascissa x rispetto a S bisognerà dunque sommare quel vt al valore x' dell'ascissa rispetto a S':

x = x' + vt Facile, no?
Da questa regoletta è poi possibile dedurne altre, riguardanti il modo in cui si trasformano, nel passaggio da un sistema inerziale a un altro, le varie grandezze fisiche. Per esempio, se, nell'esempio precedente, u' indica il valore della velocità del viaggiatore lungo il corridoio del treno rispetto al treno, e u la velocità del viaggiatore rispetto al terreno, si ha: u = u' + v (Esempio: velocità v del treno: 130 km/h, velocità u' del viaggiatore — velocità della sua marcia nel corridoio — 4 km/h, allora u = 134 km/h). Facile, no?

Le grandezze fisiche, nel passaggio da un sistema inerziale a un altro, dovranno trasformarsi secondo semplici regole di questo tipo. Le chiamiamo regole di trasformazione di Galileo, o semplicemente trasformazioni di Galileo, non perché Galileo le abbia mai scritte, ma in onor suo, visto che è stato lui a dare origine a queste considerazioni. Ritorniamo ora al principio di relatività.
Se esperimenti condotti nelle stesse condizioni in un qualsiasi sistema inerziale devono dare gli stessi risultati, bisognerà che leggi sottostanti, quelle che descrivono i fenomeni studiati con quegli esperimenti, valgano nella stessa forma in qualsiasi sistema inerziale. Ora, come abbiamo detto, le grandezze fisiche variano nel passaggio da un sistema inerziale a un altro secondo le trasformazioni di Galileo; affinché non mutino le relazioni che una legge fisica stabilisce, in un dato sistema di riferimento, fra due grandezze fisiche, bisognerà che queste varino nello stesso modo, cioè siano, come si dice, covarianti, nel passaggio da un sistema a un altro, ciò che garantirà l'invarianza della legge.

In estrema sintesi, possiamo compendiare quella che chiamiamo, in onore a Galileo, relatività galileiana, in questa affermazione, o meglio richiesta:
Le leggi della fisica sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo.

Si è scritto: richiesta.
Bisogna infatti chiedersi: ma le leggi della fisica sono davvero invarianti sotto trasformazioni di Galileo? La risposta è sì per quanto riguarda le leggi della dinamica che chiamiano newtoniana. Ma non lo è più per quanto riguarda le leggi dell'elettromagnetismo. Per fare anche qui breve una storia lunghissima, queste comportano che la velocità della luce nel vuoto abbia lo stesso valore, denotato di solito con c, in tutti i sistemi inerziali. La regola di trasformazione per le velocità di Galileo ricordata sopra è ovviamente in disaccordo con questa conclusione. Se sostituiamo un impulso luminoso — un flash — al viaggiatore sul treno dell'esempio di prima, dovremmo infatti avere sia u sia u' uguali a c, ma la regola galileiana evidentemente non lo permette. Verifichiamo che la cosa è invece permessa dalla regola:

Se infatti u' = c , abbiamo

La nuova regola per la trasformazione delle velocità è derivabile da nuove regole generali per le trasformazioni fra le coordinate, che sostituiscono quelle galileiane, e prendono il nome di trasformazioni di Lorentz.

Alla base di quella che chiamiamo relatività einsteiniana sta la richiesta:
Le leggi della fisica sono invarianti sotto trasformazioni di Lorentz.

Si è ricordato sopra che le leggi della dinamica newtoniana sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo. Esse dunque non lo saranno sotto trasformazioni di Lorentz.
Ora, si è formulata una dinamica le cui leggi risultino invarianti sotto trasformazioni di Lorentz (dinamica relativistica). La dinamica relativistica si riduce a quella newtoniana quando le velocità in gioco sono molto minori di c. La relatività galileiana rimane dunque valida, per quanto riguarda la dinamica, nel regime delle basse velocità.