Mi pare che il senso della prima domanda sia quello di chiedersi su quale principio si basa la costruzione del polinomio di Taylor di grado fissato per una funzione dotata di sufficiente regolarità nellíintorno di un punto prestabilito.
Se è così, la risposta può essere data considerando il seguente problema.
Data una funzione   f(x)  derivabile n - 1 volte in un intorno I del punto x₀ e dotata di derivata n-esima nello stesso punto, esiste un polinomio P_n di grado n tale che la differenza   f(x) - P_n tenda a zero più rapidamente di (x - x₀)ⁿ quando x tende a x₀ ?

Risposta: Sì, un tale polinomio esiste, è unico ed è precisamente il polinomio di Taylor di f, cioè

Interpretiamo geometricamente e dimostriamo questo risultato nel caso n=1 . Consideriamo, sul grafico di f(x), il punto Q=(x₀ ,  f(x₀)). Se, tra tutte le rette che passano per Q, voglio trovare quella che dà la migliore approssimazione del grafico in prossimità di x₀ , è ragionevole scegliere la retta tangente al grafico di f in Q. Tale retta non è altro che il grafico della funzione f( x₀ )+f '( x₀ )(x - x₀), che è appunto il polinomio di Taylor di primo grado P₁(x). Per la definizione di derivata

ossia

e P₁ è l'unico polinomio di primo grado che soddisfa questa condizione.
Passiamo ora al caso n=2 . Se vogliamo un polinomio di secondo grado P₂(x) tale che

è ovvio che P₂(x) si otterrà da P₁(x) aggiungendo un termine a₂(x - x₀)², dove a₂ è un'opportuna costante. Per determinare a₂ si può passare, per il teorema di de l'Hopital, dal limite precedente a

e questo limite è nullo, per la definizione di f '(x₀) , se e solo se a₂=1/2 f '( x₀₎ ovvero se e solo se P₂ è proprio il polinomio di Taylor di f di secondo grado. È chiaro che ragionando in modo del tutto analogo si arriva a provare il risultato nel caso di n qualunque. Per rispondere alla seconda domanda, una volta definito il polinomio di Taylor di f(x) di grado n in x₀ , basta fare il calcolo diretto, secondo le regole elementari di derivazione di un polinomio, per verificare che la derivata di qualunque ordine (minore o uguale di n ) di P_n in x₀ coincide con la corrispondente derivata di f(x) in x₀.