Inizialmente è importante evidenziare che l'affermazione "la velocità di precessione è uguale alla velocità angolare" è palesemente falsa. Strettamente parlando, ossia se ai termini usati nel quesito si dà il significato consueto, si chiede come si possa dimostrare un'affermazione che, purtroppo, è falsa.
In effetti, nel linguaggio comunemente usato nei testi di meccanica, o astronomia, o, in modo più specifico, meccanica celeste, il termine "perturbazione" indica l'azione dell'attrazione mutua tra i pianeti, o, più genericamente, dei corpi che costituiscono il sistema solare, sole escluso, e che si sovrappone alla forza gravitazionale esercitata dal sole.
Ora, il moto di un pianeta nel campo di forza generato dal sole è, come ben ha dimostrato Newton, un'ellisse. Pertanto il moto del pianeta è periodico: a ogni rivoluzione il pianeta ripassa per gli stessi punti, con la stessa velocità.
È ben noto che tra gli effetti della perturbazione dovuta all'attrazione mutua tra i pianeti c'è proprio quello che potremmo chiamare "la rottura delle ellissi": a ogni rivoluzione il perielio del pianeta si sposta di un angolo piccolo, non facilmente osservabile in poche rivoluzioni, ma visibile sull'arco di secoli.
Questo movimento viene detto "precessione del perielio" (da non confondersi con la precessione degli equinozi, originata dal movimento dell'asse terrestre). Dunque, le orbite dei pianeti non sono, strettamente parlando, periodiche.
Quanto all'affermazione, per così dire incriminata, che "la velocità di precessione è uguale alla velocità angolare", credo si tratti di un uso improprio dei termini.
Per velocità angolare si intende l'angolo percorso dal pianeta nell'unità di tempo, visto da un osservatore che si trovi sul sole.
Per precessione "del perielio" si intende l'angolo formato dalle due posizioni del pianeta in due passaggi consecutivi al perielio. Come ho detto sopra, nell'approssimazione del moto del pianeta sotto l'azione esclusiva del sole l'angolo di precessione è zero, mentre non lo è la velocità angolare.
L'uguaglianza tra velocità angolare e velocità del perielio è dunque banalmente esclusa. La perturbazione dovuta agli altri pianeti non può certo ristabilire l'eguaglianza, per l'eccellente ragione che la velocità di precessione è un fenomeno visibile solo sull'arco di secoli.
Naturalmente, mi pare ragionevole l'ipotesi che il termine "precessione" venga usato per identificare la "precessione del perielio", e non quella del nodo dell'orbita (una tale interpretazione mi sembra del tutto estranea alla domanda formulata).
Non mi resta dunque che supporre che la domanda venga da una persona appassionata di problemi di astronomia che, non essendo specialista della materia, ha usato in modo improprio dei termini tecnici. Provo dunque a interpretare la domanda, e per questo tento di riformularla in modo più esteso.

Tra le orbite possibili nel modello newtoniano esiste senz'altro l'orbita circolare, che corrisponde in effetti a un valore dell'energia pari al minimo del cosiddetto "potenziale efficace".
Con quest'ultimo termine si intende la somma del potenziale dovuto alla forza gravitazionale esercitata dal sole con il potenziale della forza centrifuga (se non ci fosse questo secondo contributo non ci sarebbe un minimo del potenziale, e quindi neppure un'orbita circolare).
Suppongo che con il termine "piccola perturbazione nell'orbita" si intenda lo spostamento del punto iniziale dell'orbita di una quantità piccola, mantenendo per esempio invariata la velocità (e quindi assegnando al pianeta un'energia di poco superiore al minimo).
In tal caso al moto di rivoluzione (simile a quello dell'orbita circolare) si sovrappone un'oscillazione della distanza dal sole. Di conseguenza compariranno un perielio e un afelio, e due periodi distinti.
Il primo periodo è quello di rivoluzione del pianeta (ovvero il tempo necessario perché il pianeta compia una rivoluzione completa intorno al sole), il secondo periodo è il tempo necessario perché il pianeta, nel percorre la sua orbita, passi da un perielio al successivo. Ora, questi due periodi potrebbero essere ben diversi, a priori, sicché un osservatore che si trovasse sul sole non potrebbe osservare due passaggi consecutivi del pianeta al perielio semplicemente tenendo fisso il suo telescopio. In termini più precisi, il moto ben si guarderebbe dall'essere periodico. Nel caso del potenziale Kepleriano invece accade proprio che questi due periodi coincidano.
Quest'ultimo fatto, credo, è il significato da attribuire alla frase "il pianeta, dopo un giro, ripassa per il punto in cui si trovava prima della perturbazione". La domanda, credo di indovinare, si può riformulare nel modo seguente: "come è possibile, usando lo sviluppo di Taylor del potenziale, dimostrare che nel caso del potenziale Kepleriano questi due periodi coincidono?"

Assumendo di aver ben riformulato la domanda (e soprattutto di averla intesa correttamente) passo, finalmente, alla risposta.

1. Il calcolo approssimato non è difficile: ci si riconduce semplicemente all'approssimazione armonica che è metodo comune di studio delle oscillazioni non lineari. Si scrive il potenziale efficace in funzione della sola distanza, e se ne determina il minimo (che corrisponde all'orbita circolare).
   Poi si approssima il potenziale nell'intorno del minimo con la sua parte quadratica, il che richiede il calcolo della sola derivata seconda.
   In tal modo ci si riconduce al moto di un oscillatore isocrono (o, come viene correttamente chiamato nei libri di fisica del liceo, moto armonico semplice), il cui periodo si calcola direttamente usando i coefficienti del quadrato della velocità nell'energia cinetica e del quadrato dello spostamento dall'equilibrio nell'energia potenziale.
   Precisamente, si divide il coefficiente dell'energia cinetica per quello dell'energia potenziale e se ne estrae la radice quadrata del risultato; questa è la frequenza. Il periodo si ottiene semplicemente dividendo 2π per la frequenza. Si confronta il valore così ottenuto con il periodo di rivoluzione sull'orbita circolare, e si verifica che per il potenziale Kepleriano questi due valori coincidono.
2. L'obiezione naturale al punto 1 è: ma questo vale solo in prima approssimazione. Come posso mostrare che i due periodi sono identici per tutte le ampiezze? Un modo consiste nel far uso di una formula generale che riconduce il calcolo della precessione a un integrale definito di una funzione nota.
   Questa formula si trova su quasi tutti i libri di meccanica.
3. Resta il fatto che la domanda richiede esplicitamente di eseguire il calcolo "scrivendo il potenziale con la formula di Taylor"; quindi la risposta del punto 2 aggira il problema, ma non risponde realmente al quesito. Il fatto è che il calcolo si riconduce a un integrale di una funzione che contiene uno sviluppo in serie, il che rende il problema insolubile con una semplice formula analitica.
   Credo che la risposta che più si adatta al quesito posto sia da trovarsi nel teorema di Bertrand, che afferma che i soli potenziali per i quali tutte le orbite limitate siano anche chiuse sono quello armonico e quello Kepleriano. Anzi, per essere precisi, la risposta sta nella dimostrazione del teorema, più che nell'enunciato.
   In effetti, la dimostrazione si svolge in diversi punti, tra cui: (a) determinare la precessione per orbite prossime a quella circolare nel caso di un potenziale generico; (b) selezionare la classe di potenziali per cui la precessione risulta essere la stessa per tutte le orbite circolari; (c) selezionare tra questi ultimi i potenziali per cui la precessione risulta indipendente dallo spostamento rispetto all'orbita circolare.
   Per inciso, la formulazione della domanda mi fa sospettare che il quesito sia stato originato dalla lettura del libro di Arnold, dove la dimostrazione del teorema di Bertrand è omessa e sostituita da cinque esercizi che, a detta dell'autore, permetterebbero al lettore in grado di risolverli di trovare lui stesso la dimostrazione.
   Più di un amico mi ha detto di aver trovato serie difficoltà a risolvere quegli esercizi, e io stesso, essendo pervenuto alla fine al completamento della dimostrazione, ho verificato di persona che il punto più difficile è proprio il calcolo a cui si riferisce il quesito. Ho indovinato?

Il calcolo in effetti è abbastanza complesso, e io ho trovato comodo svolgerlo riscrivendo tutte le equazioni in termini dell'inverso della distanza del pianeta dal sole, anziché della distanza stessa.
Si tratta di un procedimento classico (io l'ho appreso dal libro di Whittaker, ma è stato ampiamente usato nel secolo XIX).
Ricavare le equazioni e familiarizzarsi con esse richiede qualche sforzo, ma tutta la fatica viene abbondantemente ripagata dalla semplicità di tutto il calcolo che porta alla soluzione dei problemi. Naturalmente, descrivere tutto il calcolo in poche righe e senza ricorrere a formule non è possibile.
Credo che la cosa più conveniente sia indicare dove si possano trovare i dettagli, ma purtroppo non è cosa comune trovare questo argomento sui libri di meccanica adottati nei nostri atenei.
Credo che si debbano consultare testi ottocenteschi, spesso non facili da reperire anche perché gelosamente custoditi dalle biblioteche.

Per rendere la risposta il più completa possibile mi permetto di allegare a questa lettera un file che contiene degli appunti di meccanica celeste che ho scritto anni fa, in occasione di un corso tenuto all'Università di Milano.
Per completezza allego l'intero capitolo che tratta in generale del moto in un campo di forze centrali, in modo che il lettore possa trovare tutto quanto riguarda la formulazione del problema, le notazione, ecc.
Il teorema di Bertrand viene discusso e dimostrato in modo completo nel paragrafo 2.5. Il calcolo in prima approssimazione di cui si parla qui sopra al punto 1 viene eseguito nella dimostrazione del lemma 2.5, considerando un potenziale generico. Per il calcolo nel caso Kepleriano il lettore non dovrà far altro che sostituire l'espressione del potenziale che trova nella formula (2.33), calcolandone la derivata seconda.
Il resto della dimostrazione è contenuto nei lemmi 2.6 e 2.7, e si conclude con la proposizione 2.8.