Attrito in equilibrio
Tre cilindri uguali sono accatastati, due poggiano su un piano orizzontale e il terzo è posto su di essi in modo da toccarli entrambi. Il coefficiente di attrito radente fra i cilindri e il piano è k e quello fra un cilindro e l'altro è h. Il coefficiente di attrito volvente è trascurabile. Determinare il valore minimo di k e di h perché il sistema sia in equilibrio.
29 dicembre 2002
Immagino che i due cilindri inferiori siano a contatto anche fra loro. Dove non indicato diversamente, sono usati i moduli delle forze. Indico con M la massa di ciascun cilindro.
La simmetria della configurazione consente di riferirsi a una sola parte, considerando un solo cilindro inferiore e il suo punto di contatto con il cilindro superiore.
La componente verticale della forza esercitata dal cilindro inferiore sul piano di appoggio è
Perciò la forza massima di attrito radente fra cilindro e piano sarà
L'equilibrio dei momenti per il cilindro inferiore, rispetto all'asse, richiede che anche la forza di attrito fra il cilindro superiore e quello inferiore sia uguale a Fa.
Chiamando la forza fra il cilindro superiore e inferiore, tale forza potrà scomporsi in una forza
normale alla superficie di contatto e una
, tangente; la forza
è dovuta all'attrito fra i due cilindri e vale
µ Fn = k(3/2)Mg
Sarà, tenendo conto della geometria della situazione,
Per l'equilibrio della sfera superiore (risultante delle forze nulla) deve essere
da cui
Da Ft = Fa otteniamo
Una seconda relazione far i due coefficienti la possiamo scrivere osservando che, per l'equilibrio del cilindro inferiore (risultante delle forze nulla), dovrà essere anche
da cui, con l'espressione già trovata per Fn:
Risolvendo il sistema fra le due relazioni trovate, abbiamo
È interessante osservare che è µ = 3k.
Paolo Nesti
Insegnante
Keywords:
fisica
