Svuotare una vasca d'acqua
Vi sottopongo un problema sicuramente noto che però io non riesco a risolvere.
Si ha una vasca di dimensioni note completamente riempita d'acqua; l'acqua viene fatta defluire verso l'esterno da un foro di dimensione nota. Si deve calcolare il tempo necessario per lo svuotamento completo. Conosco la relazione che lega la velocità di deflusso al livello dell'acqua e quindi la relazione che lega la portata al livello. Però portata, velocità e livello dipendono tutti dal tempo; vorrei determinare l'altezza è dell'acqua in funzione del tempo ma non riesco a risolvere il problema. Questo problema l'ho visto affrontare con il foglio elettronico usando un modello approssimato; ho tentato di risolverlo matematicamente ma non ci sono riuscito. Dopo alcuni tentativi, sconfitto dalla mia ignoranza vi chiedo aiuto e vi ringrazio di cuore.
Si ha una vasca di dimensioni note completamente riempita d'acqua; l'acqua viene fatta defluire verso l'esterno da un foro di dimensione nota. Si deve calcolare il tempo necessario per lo svuotamento completo. Conosco la relazione che lega la velocità di deflusso al livello dell'acqua e quindi la relazione che lega la portata al livello. Però portata, velocità e livello dipendono tutti dal tempo; vorrei determinare l'altezza è dell'acqua in funzione del tempo ma non riesco a risolvere il problema. Questo problema l'ho visto affrontare con il foglio elettronico usando un modello approssimato; ho tentato di risolverlo matematicamente ma non ci sono riuscito. Dopo alcuni tentativi, sconfitto dalla mia ignoranza vi chiedo aiuto e vi ringrazio di cuore.
22 novembre 2002
Il problema si risolve facilmente in alcuni casi semplici, per esempio per un recipiente cilindrico di sezione A con un foro di sezione AU il teorema di Bernoulli applicato tra il pelo libero dell'acqua e il centro del foro fornisce:
dove H0 e H sono le altezze della superficie del liquido rispetto al foro ai tempi 0 e t rispettivamente, e
ove g è l'accelerazione di gravità.
Appena ci si scosta da forme geometriche semplici e fori di efflusso di forma particolare il problema si complica e spesso non è possibile calcolare analiticamente la soluzione e occorre utilizzare metodi di calcolo numerico.
Chi fosse interessato a risolvere il problema in casi più generali può trovare molte utili indicazioni nel testo in PDF che allego.
Per scaricare il file in PDF clicca
Pasquale Catone
ITIS - Liceo scientifico Giordani, Caserta,
