Il problema consiste nel trovare la forma di una corda sottile inestensibile di lunghezza L, con massa uniformemente distribuita, sospesa ai suoi estremi. Questo problema pu& essere inquadrato nell'ambito dei problemi variazionali, cioè la soluzione di tale problema può essere caratterizzata come (l'unico) punto di minimo di un funzionale. Nel problema della catenaria, il funzionale da minimizzare è l'energia potenziale della corda, e l'insieme in cui cercare questo minimo è l'insieme di tutte le possibili configurazioni della corda.

Il problema può dunque essere formalizzato nel seguente modo:
fissato un sistema di coordinate cartesiane (x,y) in un piano verticale, siano (x₁,y₁) e (x₂,y₂) le coordinate degli estremi vincolati della corda. Supponiamo che la corda occupi la posizione descritta dal grafico di una funzione u definita sull'intervallo [x₁,x₂]; cioè un punto della corda ha coordinate (x,y) se e solo se y =  u(x).

L'energia potenziale di una porzione infinitesimale della corda è proporzionale all'altezza per la massa di tale porzione. La massa è a sua volta proporzionale alla lunghezza infinitesimale di tale porzione, che è data dalla formula dl = (1 + |u'|²)^1/2. Si ha quindi che l'energia potenziale in ogni punto della corda ha densità proporzionale au(1 + |u'|²)^1/2. Integrando questa quantità tra x₁ e x₂ si trova l'espressione esplicita dell'energia potenziale:

^(0.1)  

Dopo aver individuato l'energia da minimizzare, per risolvere il problema si deve definire lo spazio dove va cercato il minimo. Infatti la soluzione u deve rispettare la condizione (imposta dal problema) che la corda sia inestensibile. Per scrivere questa condizione (o vincolo) in termini matematici, dobbiamo imporre che la lunghezza della corda associata al grafico della funzione u sia L, ossia

^(0.2)  

Il problema quindi è trovare tra tutte le funzioni u che rispettino il vincolo (0.2) quella che minimizzi l'energia (0.1):

Questo è un problema variazionale vincolato, che si può risolvere esplicitamente con il cosiddetto metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
La soluzione è

  

dove alfa e beta sono costanti determinate dalla lunghezza della corda e dai punti ai quali essa è vincolata.