Una derivazione del contributo inerziale m/3
Supponiamo che la molla si allunghi in maniera quasi uniforme durante l'oscillazione; questa ipotesi è realistica se la molla è abbastanza dura e leggera ( M>>m). Inoltre dovremo supporre che lungo la molla non si propaghino onde o impulsi, o che eventuali impulsi si smorzino in tempi brevi rispetto al periodo di oscillazione della massa M.

Calcoliamo innanzitutto l'energia cinetica della molla in movimento; ogni elemento di massa dm della molla si muove con velocità v_x proporzionale alla distanza x dall'estremo superiore:

v_x = v_M(x/L) ,

essendo v_M la velocità della massa M sospesa ed L la lunghezza totale della molla (in un dato istante); si ha inoltre dm = (m/L)dx. Detta perciò K_M l'energia cinetica della molla, si avrà:

L'energia cinetica della molla è pertanto all'incirca quella di una massa m/3 che si muova con la stessa velocità della massa sospesa.

Nei concreti problemi sperimentali dei sistemi massa-molla si utilizzano in genere molle sufficientemente dure e per questa ragione si è assunto qui di poter considerare l'allungamento sostanzialmente uniforme. Tuttavia un allungamento non uniforme va almeno analizzato con un modello matematico perché, anche se gli effetti sui dati sperimentali nei casi comuni non sono apprezzabili, l'applicazione della legge di Newton al sistema può indurre lo studente a conclusioni paradossali se egli assume l'ipotesi di un allungamento rigorosamente uniforme insieme all'ipotesi di molla dotata di massa piccola ma non nulla.

La molla ha complessivamente N spire. Consideriamo un elemento infinitesimo di molla contenente dn spire, posto in corrispondenza dell'n-esima spira partendo dal basso. Pensiamo cioè la molla come composta di N/dn elementi in serie di costante elastica k'. La costante elastica di ciascun elemento sarà (tenuto conto delle relazioni per molle in serie):

k' = k(N/dn)

La massa m' della molla sottostante tale elemento sarà invece la somma di n masse di una spira (m/N):

m' = n(m/N)

Pertanto, la forza che tira in basso l'elemento di molla è:

F' = g(M+mn/N)

Il suo allungamento (non uniforme) sarà quindi:

Integrando su tutta la molla si ottiene:

L'allungamento totale della molla corrisponde dunque ad una forza di trazione pari a g(M+m/2).

Il problema sollevato dal lettore è quello della corda musicale, dove la massa è distribuita lungo l'intero mezzo soggetto a forze elastiche. Si scrive la legge di Newton relativamente a ogni elemento infinitesimo della corda e si perviene alla nota equazione di Alembert, che descrive la propagazione di un'onda meccanica lungo la corda stessa (sia essa onda trasversale o longidudinale). L'argomento è trattato su qualsiasi testo di meccanica universitario destinato a fisici o ingegneri. Il caso di una massa distribuita più una massa aggiuntiva collegata a un estremo del mezzo elastico è sufficientemente complesso da non potersi discutere in questa sede.

Se sul sistema massa molla non agiscono forze dissipative la soluzione pur essere trovata partendo dalla conservazione dell'energia meccanica E somma dell'energia potenziale U e dell'energia cinetica T. Consideriamo (vedi figura) il moto di un corpo di massa M fissato all'estremità B di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo Lo mentre l'altro estremo A è fissato a una parete. Il corpo si puù muovere lungo un piano orizzontale senza attrito. Se si trascura la massa m della molla l'energia meccanica all'istante in cui la lunghezza della molla vale Lo+x è somma dell'energia potenziale elastica e dell'energia cinetica del corpo per cui:

derivando rispetto al tempo l'espressione precedente si ottiene:

semplificando e risolvendo in si ottiene:

la cui soluzione è

cioè il moto armonico con pulsazione

e periodo

Cosa cambia se non si può trascurare la massa m della molla? Ovviamente dovrà essere considerato che la molla contribuisce all'enegia cinetica totale con un termine T'. Se la molla è omogenea, possiamo calcolarlo analiticamente. Con riferimento alla figura consideriamo un elemento di molla, compreso tra z e z+dz, la massa e la sua velocit&224; vale

l'energia cinetica di tale elemento vale

e integrando su tutta la lunghezza della molla si ottiene:

e quindi la conservazione dell'energia fornisce:

che viene risolta in modo analogo alla precedente fornendo:

la cui soluzione è, un moto armonico con pulsazione

e periodo

La soluzione più generale, col sistema massa-molla in posizione verticale, in cui si deve considerare anche la variazione dell'energia potenziale gravitazionale legata sia alla massa del corpo che oscilla sia agli elementi della molla, si può reperire nel libro di Coulson* ove è riportata una soluzione generale del problema, come caso particolare dell'equazione di propagazione delle onde. In particolare si trova che, per valori di m/M piccoli (ma non trascurabili), si può ancora trattare il problema semplicemente sostituendo alla massa M del corpo una massa .

* C. H. Coulson, Onde, ed. Cremonese-Roma 1965, cap IV par. 37.