I triangoli ACA' e B'CB sono uguali perché CA = CB', CA' = CB, angolo (ACA')  = angolo(BCB'). Ne segue che AA' = BB' e analogamente si prova che AA' = CC'.

Indichiamo con gamma1, gamma2, gamma3 le circonferenze circoscritte rispettivamente ai triangoli AC'B, CB'A, BA'C, e con F il punto di intersezione di gamma1 e gamma2 diverso dal punto A.

Poiché i quadrilateri AC'BF, AB'CF sono inscritti in una circonferenza, si ha:

angolo(AFB)=120°angolo(AFC)=120°

Quindi:
angolo(BFC)=120°: pertanto il punto F appartiene alla circonferenza gamma3.
Il punto F appartiene a BB' in quanto:
angolo(AFB)=120°
angolo(AFB') = angolo(ACB') = 60°.
Allo stesso modo si dimostra che F appartiene a AA' e anche a CC'.

Il punto F è detto "punto di Fermat" del triangolo ABC.

Sul punto di Fermat si possono trovare delle ottime spiegazioni in questa pagine:
- http://www2.evansville.edu/ck6/tcenters/class/fermat.html
- http://mathworld.wolfram.com/FermatPoints.html

Inoltre si possono consultare i seguenti libri e riviste:
- R. Courant e H. Robbins, Cos'è la matematica, II ediz., Bollati Boringhieri, Torino.
- I. D'Ignazio e E. Suppa, Il problema geometrico: dal compasso a Cabri, Interlinea Editrice, Teramo, 2001.
- P. G. Spain, The Fermat Point of a Triangle, Math. Mag. 69, 131-133, 1996.
- J. Tong e Y. S. Chua, The Generalized Fermat's Point, Math. Mag. 68, 214-215, 1995.
- D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Middlesex, England: Penguin Books, pp. 75-76, 1991.