Un numero x, reale o complesso, si dice algebrico se è soluzione di un'equazione algebrica (cioè polinomiale) a coefficienti razionali. In tal caso, x è anche soluzione di un'equazione a coefficienti interi. Più esplicitamente, x è algebrico se è possibile trovare n + 1 numeri interi c₀,...,c_n (con n maggiore o uguale a 1) in modo che

Se non è algebrico, x si dice trascendente.

I primi esempi di numeri trascendenti furono costruiti da Joseph Liouville nel 1844. L'idea per la loro costruzione è che un numero algebrico x non può essere approssimato da numeri razionali, mediante una successione che tenda a x con velocità "molto alta". Quindi per trovare un numero reale trascendente ci si riduce a cercare un numero che possa essere approssimato da numeri razionali molto "velocemente",più della limitazione nota per i numeri algebrici. Uno degli esempi di Liouville è il numero definito dalla serie

Ma nessun numero trascendente che compaia"naturalmente" fu trovato fino al 1873, quando il matematico francese Charles Hermite dimostrò la trascendenza del numero e di Nepero. Il risultato di Hermite sta alla base del teorema dimostrato nel 1882 dal matematico tedesco Carl von Lindemann. Esso afferma che, se α un numero algebrico non nullo, allora e^α è trascendente. Ricordando la famosa formula di Eulero

visto che -1 non è trascendente, se ne deduce che non è algebrico. Ora, è facile dimostrare che il prodotto di due numeri algebrici è algebrico. Quindi, visto che l'unità immaginaria soddisfa l'equazione algebrica i² + 1 = 0, si può concludere che pi greco è trascendente.

L'articolo di Lindemann, di 13 pagine, non è facilmente leggibile e non si presta ad essere qui riassunto. Lo si può trovare, riprodotto in forma anastatica, nel volume [1]. Molti matematici hanno successivamente generalizzato e semplificato l'argomento di Lindemann, tra gli altri K. Weierstrass, D. Hilbert, A. Hurwitz, P. Gordan. Weierstrass dimostrò il seguente teorema generale (oggi noto come teorema di Lindemann - Weierstrass), che comprende i teoremi di Hermite e Weierstrass come casi particolari.

Siano c1,..., c1 numeri complessi algebrici a due a due distinti. Allora non esiste nessuna relazione del tipo: in cui a1,..., a1 siano numeri algebrici non tutti nulli.

Una dimostrazione completa in italiano di questo teorema si trova nel volume [2] (la prima edizione è del 1900, ma il libro viene ancora ristampato).
Una dimostrazione molto semplificata della trascendenza di pi greco si trova in [3]: fa uso di nozioni elementari di analisi matematica e delle proprietà dei polinomi simmetrici. (ndr La dimostrazione è riportata nel file in formato PDF.)

Desidero infine ricordare che la dimostrazione della trascendenza di pi greco chiuse defitivamente la questione della quadratura del cerchio, o della rettificabilità della circonferenza, con riga e compasso. Infatti, dall'essere pi greco trascendente, segue che per quadrare il cerchio non solo non bastano riga e compasso, cioè rette e circonferenze, ma non sono sufficienti neanche curve algebriche meno elementari, come altre coniche, o curve di grado maggiore di 2.

Bibliografia
[1] L. Berggren - J. Borwein - P. Borwein, Pi: a source book, Springer Verlag 1997
[2] Questioni riguardanti le matematiche elementari. Raccolte e coordinate da Federigo Enriques, Zanichelli, Bologna
[3] I. Stewart, Galois theory, Chapman & Hall Mathematics, 1989

La risposta alla domanda con la dimostrazione del trascendenza di pi greco è scaricabile in PDF.