Stecca in equilibrio

Salve! Sono una studentessa e ho un quesito di fisica da porvi: cercando di tenere in equilibrio sul dito una stecca di legno dotata di una massa d'argilla attaccata a pochi centimetri di distanza da uno dei due estremi si nota che quando l'argilla è in alto l'asta ruota più lentamente ed è più facile tenerla in equilibrio, mentre quando è in basso succede esattamente l'opposto. Perché accade ciò? Cos'è esattamente il momento di inerzia e come influisce sul fatto che l'asta ruoti più o meno lentamente a seconda che il suo baricentro sia lontano o vicino dall'asse di rotazione (in questo caso la nostra mano)?
Elisa Bianco
10 agosto 2002
L'affermazione contenuta nella prima parte della domanda non sembra giustificarsi, probabilmente si è resa possibile a causa di un esperimento non eseguito a dovere (la velocità di rotazione varia sensibilmente a seconda dell'asse di rotazione prescelto). Presumendo che le dimensioni del malloppetto di argilla siano piccole rispetto alla lunghezza dell'asta, il momento d'inerzia del sistema I rispetto all'asse di rotazione è dato, in buona approssimazione, dalla somma del momento di inerzia dell'argilla (prodotto della massa dell'argilla M per il quadrato della sua distanza D dall'asse, ossia MD2), più quello dell'asta (se con m indichiamo la massa dell'asta, con L la sua lunghezza e con d la distanza dell'asse di rotazione dal centro dell'asta, per il teorema di Huygens-Steiner esso vale: mL2/12 + md2). Dunque I = MD2 + mL2/12 + md2,indipendentemente dal fatto che l'argilla sia appiccicata sopra o sotto l'asta.
Per la seconda equazione cardinale della meccanica dei corpi rigidi, in condizioni di non equilibrio, lasciando l'asta libera di ruotare a partire dalla posizione orizzontale, essa presenta accelerazione angolare iniziale w' data da Iw' = gMD1gmd, ossia eguale al momento torcente complessivo delle forze peso in gioco (- se l'asse viene preso dalla parte dell'argilla, + in caso contrario; g è l'accelerazione di gravità); dunque, di nuovo senza dipendenza dall'essere l'argilla sopra o sotto. Sia il momento di inerzia I che il momento complessivo delle forze peso dipendono dalla scelta dell'asse di rotazione, e così le caratteristiche del moto.
Per fare un esempio, semplifico un poco: sia m = M e la massa di argilla venga posta all'estremo dell'asta, in modo che D = L/2 - d. Nel caso del segno +, con pochi passaggi si arriva a (sperando di non aver sbagliato i conti!): w' = gL/(4d2 + 2Ld + 2L2/3), da cui si vede che più cresce d &8212; ossia l'asse di rotazione si muove dal centro dell'asta in senso opposto all'argilla — più scende l'accelerazione angolare. In particolare, se l'asse passa per il centro dell'asta, d = 0, si ha w' = 3g/2L, ossia, per un'asta di 1 m, w' = 15 rad/sec2.
Andrea Frova Dipartimento di Fisica, Università di Roma "La Sapienza"

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