Per semplicità, occupiamoci di continuità e di uniforme continuità nel caso di una funzione reale f(x) che dipende da una sola variabile reale e sia I l'insieme dove f(x) è definita.
Secondo la definizione, f è continua nel punto x_o ∈ I se

ed è continua in I se è continua in ogni punto di I.
Esplicitamente: per ogni x_o ∈ I, comunque si scelga un numero positivo ε esiste un numero δ tale che, se0 < |x - x_o| < δ, allora

In termini qualitativi, quando x è vicino a x_o il valore f(x) è vicino a f(x_o). La vicinanza è espressa quantitativamente attraverso δ e ε. In generale, quanto si debba star vicini a x_o per non discostarsi più di ε da f(x_o), il numero δ dipende, oltre che da ε, da x_o. Se scelgo altri punti in I, dunque, dovrò aggiornare il numero δ a seconda delle esigenze.
Se la funzione è tale che si riesce a trovare un numero che va bene per tutti i punti di I, si dice che la funzione è uniformemente continua in I.
In formule: per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che per ogni coppia di punti x,x' ∈ I con |x - x' | < δ si ha

Per illustrare il concetto di uniforme continuità, facciamo vedere un controesempio, cioè una funzione che in un dato insieme è continua ma non uniformemente continua.
A tal fine occorre ricordare un importante risultato, noto come teorema di Cantor: una funzione continua in un insieme compatto (cioè limitato e chiuso) è uniformemente continua nell'insieme stesso.
Dunque il nostro controesempio sarà costruito tenendo d'occhio l'insieme di definizione della funzione.

Consideriamo f(x) = 1/x, nell'insieme I definito da 0 < x ≤ , insieme che, si noti, non è chiuso. Il grafico di f è parte di un ramo di iperbole equilatera.
È facile verificare che f(x) è continua in I. Proviamo che f(x) non è uniformemente continua nello stesso insieme.
Scegliamo ε = 1/2 e facciamo vedere che si possono trovare in I coppie di punti x,x', vicini tra loro quanto si vuole e tali che si ha sempre

Siano,

dove n puè assumere i valori naturali 1, 2, 3, ... .
Dunque

che, al crescere di n, può essere reso piccolo quanto si vuole, mentre

per ogni valore di n.