La somma di due numeri reali
La mia domanda riguarda la matematica.
Il problema è in poche parole questo: dopo aver sviluppato la teoria degli insiemi, sono giunto alla definizione assiomatica di R come campo ordinato, ora il fatto che la somma di due numeri di R sia proprio quella che intendiamo noi, cioè, in poche parole, che 3 + 1 sia il successivo di 3 nella retta realeè derivabile dagli assiomi di R oppure deve essere definito così?
Il problema sorge dal fatto che in tutti i testi che ho potuto consultare la somma è definita solo come operazione interna a R e che gode di varie proprietà(commutativa, associativa ecc.), ma non è mai spiegato perché1 + 1 = 2.
Il problema è in poche parole questo: dopo aver sviluppato la teoria degli insiemi, sono giunto alla definizione assiomatica di R come campo ordinato, ora il fatto che la somma di due numeri di R sia proprio quella che intendiamo noi, cioè, in poche parole, che 3 + 1 sia il successivo di 3 nella retta realeè derivabile dagli assiomi di R oppure deve essere definito così?
Il problema sorge dal fatto che in tutti i testi che ho potuto consultare la somma è definita solo come operazione interna a R e che gode di varie proprietà(commutativa, associativa ecc.), ma non è mai spiegato perché1 + 1 = 2.
1 marzo 2002
Il fatto che 3+1 = 4 è contenuto negli assiomi che definiscono R, però è anche contenuto nel fatto che, all'interno della teoria degli insiemi, si possano definire e dimostrare validi gli assiomi di Peano.
In base ad essi si definisce all'interno della teoria stessa degli insiemi un modello dei numeri naturali, modello in base al quale 3+1 = 4, per definizione di 3+1 come successore di 3 e per la definizione alla Peano di somma.
In base ad essi si definisce all'interno della teoria stessa degli insiemi un modello dei numeri naturali, modello in base al quale 3+1 = 4, per definizione di 3+1 come successore di 3 e per la definizione alla Peano di somma.
Una volta definiti i numeri naturali, in base alla teoria delle coppie di Dedekind (fine 800), si definiscono gli interi relativi Z = {0, +1, -1, + 2, -2, ...}. Qui si definisce una somma in modo che sia compatibile con quella definita in N (e ancora 3+1 = 4). Poi da Z si passa ai numeri razionali Q (ancora con la teoria delle coppie). E anche qui 3+1 = 4.
Dai razionali si passa ai reali utilizzando un procedimento diverso: per esempio usando il metodo delle sezioni di Dedekind di razionali. Anche in quest'ultima estensione 3+1 = 4. Le definizioni di somma, prodotto ecc. in R sono le più naturali possibili e, naturalmente, si continua a chiedere che 3+1 faccia 4.
Di modelli di R se ne possono costruire più di uno, ma questi risultano fra loro isomorfi e da questo fatto si estrae una lista di proprietà, gli assiomi, che caratterizzano R. In base a questi assiomi si fa una trattazione assiomatica di R.
Per un ulteriore approfondimento, dalla mia
Gino Tironi
Università di Trieste, Facoltà d'Ingegneria
