Le geometrie noneuclidee nascono nel 1800, da un antico problema: Euclide nei suoi "Elementi" (il libro più stampato al mondo dopo la Bibbia) mette alla base della geometria vari postulati, fra i quali il V che, espresso in linguaggio moderno, è il seguente:

"Data una retta r sul piano e un punto P fuori da essa, esiste una unica retta passante per P e parallela a r."

Tale postulato sembrò a molti che dovesse essere un teorema, cioè che invece di porlo come proprietà fondamentale (e quindi indimostrata), si potesse dimostrarlo a partire dagli altri. Molti matematici provarono poi a dimostrare che il V postulato derivava dagli altri, ma non ci riuscirono (ora sappiamo che è impossibile).

Nella prima metà dell'Ottocento vari matematici cambiarono approccio al problema: invece di cercare di dimostrare che il V postulato si può dedurre dagli altri, cercarono di vedere cosa succedeva se lo si negava.
Ad esempio: se si prendeva per ipotesi che invece di UNA retta per P parallela a r ne esistano INFINITE, che succede?

L'idea iniziale era di cercare di vedere che una tale ipotesi conduceva a un assurdo, a qualche contraddizione..., quello di cui ci si rese conto fu che invece quello che accadeva era che si finiva col formulare una diversa geometria (noneuclidea, appunto).

Uno dei primi a rendersi conto di ciò fu il grande matematico tedesco Karl Friedric Gauss, che scelse di non rendere noto il risultato di queste considerazioni per "evitare le urla dei beoti". Altri però giunsero alle stesse conclusioni, e pubblicarono i risultati delle loro ricerche (Lobacewskij, Riemann), suscitando in effetti un certo clamore: erano possibili "altre geometrie" oltre a quella usuale (euclidea)? E la geometria "vera" (quella del nostro mondo fisico) era euclidea o no?

In una geometria noneuclidea fra le piò studiate, quella iperbolica (quella considerata sopra, con infinite rette parallele a r), i triangoli hanno la somma degli angoli MINORE di 180 gradi, in altre (ad esempio quella sferica, elaborata da Riemann) la somma degli angoli di un triangolo è MAGGIORE di 180 gradi. Misurazioni vennero fatte (usando ad esempio triangoli formati dalle cime di montagne), e i risultati confermarono sempre 180 gradi, entro i possibili errori sperimentali.

Oggi però il modello del mondo che ci dà la fisica è in effetti NONEUCLIDEO: l'Universo descritto dalla teoria della relatività è un Universo dove lo spazio-tempo è"incurvato" in presenza di materia, e non segue la geometria euclidea (ad esempio i raggi di luce seguono un cammino "curvo" in prossimità di un corpo celeste, e non si comportano come dovrebbero in uno spazio "euclideo").

Link consigliato:
http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html