1. La definizione di superficie

Il termine superficie è stato usato tradizionalmente in matematica per indicare un sottoinsieme S dello spazio ordinario la cui caratteristica essenziale sia: ogni punto di S può essere individuato dai valori di due parametri indipendenti, così come, ad esempio, un punto sulla superficie terrestre è individuato dalla sua latitudine e dalla sua longitudine. La definizione matematica corretta richiede ulteriori precisazioni¹, per evitare di doversi imbattere in casi non aderenti all'idea intuitiva di superficie, che i testi di Geometria dell'inizio del Novecento descrivevano con l'espressione"velo flessibile ed estendibile";ma credo che per rispondere alla domanda del 26 novembre basti fare appello a nozioni elementari.

L'esempio più semplice di superficie è un piano, immerso nello spazio; altri esempi noti sono la superficie di una sfera, di un cilindro. Nella scuola secondaria si impara che, preso un punto a piacere, P, di un piano p, esiste una retta che è perpendicolare a p e passa per P; questa retta viene chiamata "normale al piano p in P". Se si prende su p un altro punto Q, la retta normale a p in Q è parallela alla normale a p in P.
Anche nel caso del secondo esempio di superficie, quello della superficie sferica, o semplicemente sfera, si può definire una retta "normale", in ciascun punto della sfera. Infatti, scelto a piacere un punto X sulla superficie sferica S (di centro C), se si considerano i piani che passano per X, si osserva che tutti, fuorché uno, tagliano la sfera lungo una circonferenza; si distingue il piano che è perpendicolare alla retta CX, il quale ha in comune con la sfera il solo punto X. Questo piano viene detto tangente alla sfera S (in X) e la retta CX viene indicata come "retta normale alla sfera" nel punto X. L'aggettivo "tangente" si giustifica considerando il caso concreto di una palla pesante, che venga appoggiata su un tavolo: il piano del tavolo realizza proprio una parte del piano tangente alla palla nel punto in cui il tavolo e la palla si toccano.
Nel caso infine di una superficie qualunque S, sotto alcune ipotesi che formano oggetto di studio della Geometria differenziale, si stabilisce la definizione di piano tangente (a S in P); questo, tra i piani che passano per P, è, in un senso precisato dal calcolo differenziale, quello che approssima meglio S, vicino a P. Risulta poi individuata la retta normale (a S in P), che è proprio la retta perpendicolare al piano tangente nel punto P. I piani che passano per questa retta normale vengono chiamati piani normali a S in P.

Consideriamo ora i punti comuni a una superficie S e a un piano normale ad S . Nei due esempi indicati sopra, queste intersezioni sono delle curve ben note: nel caso in cui S è un piano, la sua intersezione con un piano normale in un punto fissato P è una retta per P; nel caso della superficie sferica S di centro C, scelto un punto X su S, un piano normale in X è un piano che contiene la retta del raggio CX, quindi i punti comuni a S e ad un tale piano costituiscono una circonferenza massima della sfera (cioò una circonferenza con lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera).
Per una superficie qualunque S, i punti che essa ha in comune con un piano normale in un punto P costituiscono una curva, che viene detta sezione normale di S in P. Mentre nei due esempi precedenti, se si tiene fisso il punto P e si fa ruotare il piano normale attorno alla retta normale in P, la sezione normale mantiene le stesse caratteristiche (è sempre una retta nel primo esempio, è una circonferenza massima nel secondo), generalmente, al variare del piano normale, la curva sezione può cambiare significativamente. Si pensi ad un cilindro K, costruito, a partire da una circonferenza posta in un piano, conducendo per ogni punto della circonferenza la retta perpendicolare al piano: le sezioni normali a K in un suo punto P sono di tre tipi: ellissi, una circonferenza (uguale a quella considerata per costruire K) e una retta.

Un esempio ancora più interessante è costituito dalla superficie di una sella. Nel disegno qui sotto, i piani normali in un dato punto sono piani verticali che, a seconda della loro posizione, tagliano sulla superficie delle curve che si estendono verso l'altro o verso il basso; anzi, si può osservare che queste sezioni normali formano quattro famiglie (ciascuna costituita di curve che si rivolgono da una stessa parte) separate tra loro da due particolari sezioni, che sono linee rette.

Per descrivere con più precisione questo fenomeno, occorre introdurre un altro carattere delle curve piane, la curvatura. Come si capisce dal nome stesso, la curvatura di una curva piana indica, in ogni punto, di quanto la curva si discosti dall'essere "dritta". La curvatura viene definita infatti tramite la variazione dell'angolo che la tangente alla curva forma con una retta fissa. Si comprende facilmente che in ogni punto di una retta la curvatura è uguale a zero; occorre qualche calcolo per stabilire che su una circonferenza la curvatura è costante, uguale al reciproco del raggio. Per una curva qualsiasi, si può considerare (salvo in casi particolari che non ci interessano qui) in ogni suo punto la circonferenza che, tra tutte quelle che passano per quel punto, la approssima meglio (circonferenza osculatrice); se la circonferenza osculatrice ha raggio R, allora la curva ha in quel punto curvatura di modulo uguale a 1/R.

Fissato dunque un punto su una superficie, a ciascuna delle sezioni normali in quel punto compete una curvatura. Se si orienta la retta normale alla superficie, uno dei due semispazi determinati dal piano tangente può essere indicato come "positivo" e l'altro come "negativo";corrispondentemente, il segno della curvatura di una sezione normale distingue le sezioni che giacciono nell'uno da quelle che stanno nell'altro dei semispazi.
Nei casi che abbiamo considerato, questa scelta del segno non riveste grande importanza per la sfera o il cilindro, in quanto le sezioni normali risulteranno avere curvature concordi (salvo una con curvatura nulla per il cilindro) ma nel caso della sella il segno della curvatura delle sezioni normali cambia ben quattro volte!

2. Che cosa è una superficie minima?

Per descrivere un pezzo di una superficie, nelle vicinanze di un punto fissato, è conveniente studiare il comportamento delle curve che si ottengono tagliando la superficie con i piani ad essa normali in quel punto. Più precisamente, si studia come variano le curvature normali, quando i piani normali ruotano intorno alla retta normale. Fu dimostrato da Eulero, nel 1760, che le curvature normali in un punto raggiungono un massimo ed un minimo, detti curvature principali e indicati solitamente con 1/R₁ e 1/R₂ (non necessariamente numeri positivi).
Nello studio della geometria delle superfici, risultano importanti due funzioni che si costruiscono tramite le curvature principali: il loro prodotto, che è la curvatura gaussiana, e la loro semisomma, che è la curvatura media

Si chiamano superfici minime quelle per cui, in ogni punto, è H = 0.

Il nome "superfici minime" ha un'interessante motivazione: si dimostra che hanno curvatura media nulla le superfici che "minimizzano learee", cioè quelle che, tra tutte le superfici aventi come bordo una data curva chiusa nello spazio, hanno la minima area.
Esempi di superfici minime sono, oltre al piano, la catenoide e l'elicoide. Della catenoide si è già parlato in questa rubrica; l'elicoide è la superficie descritta da una retta che ruota in un piano, mentre contemporaneamente il piano trasla nella direzione perpendicolare a lui stesso; la figura qui sotto ne mostra una parte (quella descritta da un segmento della retta).

Queste superfici minime furono studiate nel secolo XVIII (l'elicoide da Meusnier, la catenoide da Eulero); si dovette aspettare più di mezzo secolo perché fossero trovati altri esempi (da Scherk negli anni dal 1831 al 1835), come soluzioni dell'equazione differenziale, detta di Eulero-Lagrange) che traduce in termini matematici la proprietà di "minimizzare l'area". Nella seconda metà del secolo XIX lo studio del "problema di Plateau", cioè trovare tra le superfici di bordo assegnato quelle che minimizzano l'area, portò alla scoperta di altri esempi di superfici di curvatura media nulla: se ne può avere un'idea dal filmato sulla storia delle superfici minime che si trova nella pagina web della casa editrice Springer.
Negli ultimi venti anni, altri esempi di superfici minime sono stati trovati con l'utilizzo di nuovi strumenti, non solo teorici. Infatti, come annunciato dal titolo di un affascinante articolo di David Hoffman, The computer-aided discovery of new embedded minimal surfaces (The Mathematical Intelligencer, vol. 9, n. 3, 1987, pag. 8-21), la possibilitò di disegnare con il calcolatore pezzi di una superficie, le cui equazioni erano state scoperte da un matematico brasiliano, C. Costa, fu di grande aiuto per Meeks ed Hoffman nel dimostrare che quella di Costa era proprio una nuova superficie minima senza autointersezioni ("embedded"). Altri nuovi esempi sono stati trovati negli anni novanta.
Si perviene a una galleria di superfici minime e ad altri links dal sito dell'Università di Cagliari.
La superficie di Costa è ora molto famosa tra i matematici; è raffigurata nella pagina in memoria del matematico Alfred Gray ed è stata perfino ritratta in ghiaccio, da una squadra di matematici, sponsorizzati da Wolfram Research, per il campionato di scultura di neve in Colorado, nel gennaio 1999. L'anno successivo, il secondo posto nel campionato fu vinto da una scultura in neve raffigurante un'altra superficie minima, quella di Enneper.
Fotografie delle sculture si trovano al sito della Wolfram Research.

[1] Per una introduzione elementare: M. D'Aprile, La geometria delle superficie, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 19B, n. 2, 1996, pag. 109-127