Il problema dell'identificazione della massa inerziale m_i (cioè il fattore di proporzionalità tra la forza F applicata a un corpo e l'accelerazione a impressa al corpo: F= m_ia con quella gravitazionale m_g, cioè quella costante che compare nella forza di attrazione gravitazionale

ha assunto grande importanza in relazione alla relatività generale.
Gli esperimenti che, in vari momenti sono stati eseguiti, mettono in evidenza che due corpi che abbiano la stessa massa inerziale hanno anche la stessa massa gravitazionale, per cui il rapporto m_g/m_i è una costante universale indipendente dal materiale.

Se si considera l'interazione con la Terra, la forza di attrazione gravitazionale diventa

per cui da

si ottiene

cioè corpi che abbiano la stessa massa inerziale, se hanno anche la stessa massa gravitazionale devono avere la stessa accelerazione di caduta libera.

Storicamente si potrebbe considerare come primo esperimento l'esperimento sulla caduta dei gravi eseguito da Galileo Galilei a Pisa: corpi che hanno la stessa massa inerziale hanno lo stesso tempo di caduta, il che implica che hanno la stessa accelerazione di caduta libera e quindi la stessa massa gravitazionale. Questo esperimento mostrò anche che il periodo di un pendolo semplice non dipendeva dal materiale utilizzato. (Galileo attribuì le piccole differenze osservate alla resistenza dell'aria).
Newton, avendo a disposizione le prime macchine pneumatiche, poté ripetere le stesse esperienze riducendo di parecchi ordini di grandezza l'effetto dell'aria: mostrò che in un simile ambiente (tubo di Newton) tutti i corpi cadevano con la stessa accelerazione confermando l'ipotesi di Galileo.

Successivamente utilizzando un pendolo formato da un involucro cavo in cui poteva introdurre materiali diversi misurò il periodo delle piccole oscillazioni introducendo nel pendolo vari materiali.

Il periodo di un pendolo semplice di lunghezza l ottenuto mantenendo distinte le due masse figura1 vale:

Perciò se il periodo risulta indipendente dal materiale, si può affermare che corpi di materiali diversi, aventi la stessa massa inerziale, hanno la stessa massa gravitazionale.
I risultati ottenuti da Newton mostrarono che l'affermazione è valida entro una parte su mille, cioè corpi di eguale massa inerziale hanno la stessa massa gravitazionale entro una parte su mille.

Un miglioramento notevole è stato ottenuto da Eötvös con la bilancia di torsione con cui si mette in evidenza che la forza peso ha la stessa direzione per corpi di materiale diverso.

La forza peso che agisce su un corpo fermo rispetto alla terra è somma della forza di attrazione gravitazionale m_gg_N diretta verso il centro della Terra e della forza centrifuga m_iw²r dovuta al moto di rotazione terrestre:

(vedi figura2) la sua direzione è quella del filo a piombo.

Eötvös utilizzò una bilancia di torsione del tipo di quella di Cavendish, che concettualmente è formata da un'asticella sospesa per mezzo di un sottile filo di quarzo alle cui estremità vengono appese due sfere aventi la stessa massa inerziale (vedi figura3).
Agendo sul filo, la sbarra viene orientata in direzione est-ovest in modo che, se le due masse gravitazionali fossero diverse, il filo eserciterebbe un momento di torsione per mantenere il sistema in equilibrio.

Se, dopo aver raggiunto l'equilibrio, la bilancia di torsione viene ruotata di 180º le due forze peso si scambiano di posizione e il momento di torsione del filo si somma a quello dovuto alle forze facendo sbilanciare il sistema. L'effetto può essere messo in evidenza mediante una opportuna leva ottica.

Anche in questo caso l'esperimento non ha messo in evidenza alcun effetto dovuto a differenze tra le masse gravitazionali.

Un miglioramento dell'apparato consiste nel far ruotare il sistema intorno a un asse coincidente col filo di quarzo, in questo modo si avrebbe un fenomeno periodico con periodo 2p/w; che permette di evidenziare meglio l'effetto.

Un'altra tecnica consiste nel confrontare le accelerazioni di caduta libera rispetto al Sole. Un modo semplice di spiegare il procedimento è il seguente: nell'approssimazione di orbite circolari, il raggio dell'orbita per un corpo solidale con la Terra, avente massa inerziale m_i e massa gravitazionale m_g che descrive un'orbita (circolare) intorno al Sole di massa M_S vale

e quindi corpi con massa gravitazionale minore percorrono orbite con raggio minore e viceversa.

Se un dispositivo simile a quello di Eötvös viene posizionato sul piano dell'orbita terrestre, in direzione ortogonale alla retta che congiunge il centro della Terra col centro del Sole, se, a parità di masse inerziali i due corpi avessero massa gravitazionale diversa, tenderebbero a portarsi su orbite diverse. Nella figura4a è schematizzata la situazione iniziale: il corpo di massa gravitazionale minore (quello tratteggiato) tende a percorrere un'orbita più vicina al Sole. Dopo 12 ore, la Terra ha compiuto una rotazione di 180º e la bilancia di torsione si porterebbe nella posizione illustrata nella figura4b ma, poiché il corpo bianco dovrebbe percorrere l'orbita di raggio minore, la nuova situazione di equilibrio è quella indicata nella figura4c. Perciò il sistema comincerô a oscillare con periodo ben definito (24 ore) intorno alla posizione di equilibrio e si possono mettere in evidenza anche oscillazioni di ampiezza estremamente piccola. Esperimenti in tal senso non hanno evidenziato alcun effetto e quindi hanno permesso di ridurre di alcuni ordini di grandezza l'indeterminazione, in particolare l'esperimento di Roll et al. (1964) ha ridotto l'indeterminazione a 1x10^-11 e quello di Braginski e Panov (1972) fino a 1x10^-12.

L'eguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale implica che la massa stessa scompare dalle equazioni di moto; quindi i corpi sottoposti all'azione della forza di gravità si muovono alla stessa maniera, unicamente determinata dalla posizione e velocità iniziali. Per esempio, una piuma e una palla di ferro lasciati cadere dalla stessa altezza in un tubo ove è stato fatto il vuoto (per eliminare la resistenza dell'aria) arrivano a terra allo stesso istante. Questa proprietà, che va sotto il nome di principio di equivalenza, non è condivisa da nessuna altra forza in natura; per esempio, il moto di una carica in un campo elettrico dipende anche dal rapporto tra la carica e la massa. Di questa straordinaria proprietà si era già reso conto Galileo Galilei; nei primi anni del 1920 essa è stata verificata con grande precisione dal barone ungherese Loránd Eötvös.

Sulla base di questa proprietà Einstein ha costruito la Teoria della relatività generale. Essa, difatti, suggerisce che la traiettoria di un corpo pesante ha natura geometrica ed è assegnata individuando una legge che specifica una curva in funzione del tempo per ogni punto e per ogni velocità iniziale. Un esempio di una legge di questo tipo è la legge del moto uniforme, secondo cui il corpo percorre una retta ad una velocità eguale a quella iniziale. Einstein ha mostrato che possiamo ritrovare la legge di moto di un corpo pesante generalizzando la nozione di retta nell'ambito di una geometria non euclidea. Questi aspetti teorici, per esempio, sono discussi nell'articolo che ho scritto per il volume "Conoscere Fermi", reperibile nel sito della Società Italiana di Fisica.

Una violazione del principio di equivalenza, anche a livelli piccolissimi, avrebbe straordinarie conseguenze per la fisica delle interazioni elementari che, attraverso le varie energie di legame, contribuiscono alla massa di un corpo. È in progetto una importante missione spaziale chiamata STEP (Satellite Test of the Equivalence Principle) per migliorare di molto l'accuratezza con cui il principio è stato verificato da Eötvös e poi, successivamente, da Vladimir B. Braginsky e Robert Henry Dicke. Si veda anche il sito della professoressa Anna Nobili.