Cominciamo dalla catenoide. È la superficie che si ottiene facendo ruotare una curva, la catenaria. Questa ha una forma molto familiare, proprio la forma che prende una catena, o una fune pesante, quando viene appesa per i due estremi e quindi lasciata pendere liberamente. Studiando il capitolo della fisica che va sotto il nome di"Meccanica", si apprende che il peso del materiale, di cui è costituita la catena, la obbliga a disporsi in un piano verticale e a sovrapporsi a una parte del grafico di una funzione nota con il nome di"coseno iperbolico". Se si fa ruotare questa curva intorno a un asse orizzontale (che non la incontri), essa descrive appunto la superficie detta catenoide. Eulero trovò, nel 1744, che questa superficie costituisce la soluzione di un interessante problema: qual è la superficie di area minima fra tutte quelle che hanno come bordo due circonferenze assegnate, poste su due piani paralleli in modo che i centri siano su una stessa retta perpendicolare ai due piani?

Questo problema nasce proprio dallo studio delle bolle di sapone! Se una persona prova a intingere nell'acqua saponata un telaio di filo di ferro, e osserva le lamine di acqua saponata (aventi come bordo il telaio stesso) che si formano quando si estrae il telaio dall'acqua, le sorge spontaneamente qualche curiosità: perché si formano quelle superfici, e quali aspetti possono avere? come cambiano se si cambia il telaio?

Ancora una volta, la fisica spiega questi fenomeni, attraverso lo studio dei "fluidi viscosi"; in questi, le forze di coesione tra le molecole sono tali da permettere la formazione di sottili lamine di liquido, simili a fogli elastici, tese tra bordi; e come l'elastico, che, se è tenuto fermo agli estremi, tende a contrarsi, queste lamine tendono, a causa della tensione superficiale, a occupare la minima area possibile.

Condotta con strumenti matematici, la ricerca delle possibili forme delle lamine saponate (o delle superfici di area minima fra quelle che hanno un dato contorno) si trasforma nella ricerca delle soluzioni di certe equazioni differenziali, sotto il titolo di "problema di Plateau",dal nome del fisico che nel secolo XIX fece interessanti esperimenti con acqua saponata e vari tipi di telai. Per avere un'idea delle soluzioni relative ad alcuni tipi di telai, si può consultare un classico testo di divulgazione, Che cos'è la matematica?, di Richard Courant e Herbert Robbins, ristampato recentemente da Bollati Boringhieri, dove un lungo paragrafo, il n. 11, del capitolo VII"Massimi e Minimi", è dedicato agli esperimenti con le laminesaponate.

Il problema della determinazione delle superficie di area minima è stato ed è tuttora attivamente studiato, così che immensa è la bibliografia in proposito: oltre a trattati dedicati alle superficie minime o al problema di Plateau, vengono pubblicati di continuo articoli su riviste specializzate in equazioni differenziali e in geometria differenziale.
Non recente, ma molto piacevole è il libro, dichiaratamente divulgativo, Michele Emmer, Bolle di sapone: un viaggio tra arte, scienza e fantasia, La Nuova Italia editrice, Scandicci 1991.
Michele Emmer è anche autore di pellicole cinematografiche dedicate alle bolle di sapone. Un altro film sullo stesso tema è stato recentemente prodotto dalla casa editrice Springer, e se ne possono scaricare brevi sequenze dal sito http://www.springer.de/math/livingmath/pr_touching.html

Erminia Naccarato, (erminia_naccarato@yahoo.it ), discussa nell'anno accademico 1999/2000 presso l'Università della Calabria, è un'introduzione elementare in versione multimediale; nella bibliografia sono indicati, tra l'altro, i seguenti link:
- Architettura e matematica: bolle e lamine di sapone, di Michele Emmer
- L'arte delle bolle di sapone, di John M. Sullivan
- Superfici minime con Mathematica, di Stewart Dickson
- Superfici minime scolpite da Brent Collins
- Superficiminime, di Tamara Munzner:
- Grafmat,Università di Cagliari
- Homepage di Stefano Montaldo
- Minimal Surface Gallery