Se la domanda significa se è possibile determinare la misura di b₁ senza utilizzare la misura degli angoli, o senza usare il teorema di Pitagora (che definisce la metrica euclidea), la risposta è NO. Innanzitutto osserviamo che i discorsi precedentemente svolti (leggi la risposta alla domanda I lati di un triangolo e le loro proiezioni del 14 giugno 2001, ndr) hanno senso in un piano metrico, nel quale sia cioè stata fissata una distanza tra i punti (e non hanno senso, per esempio, in un piano affine, o in un piano proiettivo).

In tale piano, l'operazione di proiezione di un segmento su una retta è esattamente (ridotto all'osso) ciò di cui si occupa la trigonometria. Quando si chiede di proiettare un lato di un triangolo su un altro lato, si introduce l'operazione geometrica che porta alla definizione di coseno di un angolo: dato nel piano cartesiano un sistema di riferimento ortogonale e il punto A(1,0), un qualunque punto P definisce un angolo, l'angolo AOP. Il coseno di tale angolo è il rapporto di proiezione sull'asse x, il seno è il rapporto di proiezione sull'asse y.
Dunque quando si chiede di determinare, in un triangolo di lati a, b, c, la proiezione b1 di a su b, si chiede esattamente di effettuare l'operazione di coseno dell'angolo γ compreso tra a e b:

b₁ = a cos(γ).

Di qui non si scappa: la misura di γ è il dato essenziale, centrale e indipendente del problema.
Se invece la domanda significa se è possibile determinare b₁ mediante una proporzione tra i lati di triangoli simili, allora risponderei: sì, camuffando in qualche modo il dato essenziale del problema. Ragionando a ritroso, si scopre che vale la seguente proporzione:

b₁ : √((a² + b²- c²)/2) = √((a2 + b² - c2)/2) : b

Ora il problema è quello di interpretare geometricamente il termine medio √((a2 + b² - c2)/2). Poiché

√(a²/2 + b² - 2c2/4)

è la lunghezza della mediana relativa al lato c e

√(a²/2 + b² - 2c2/4) = √((a²+ b² - c2)/2 + c2)/4)

è la lunghezza della mediana relativa al lato c e

√(a²/2 + b² - 2c2/4) = √((a²+ b² - c2)/2 + c2)/4)

il termine medio può essere faticosamente interpretato come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti la mediana relativa al lato c e la metà del lato c.

Concludendo: può darsi che sia possibile far di meglio (non lo escludo), mediante qualche costruzione geometrica che si concluda con la proporzione cercata, ma così facendo si fa (secondo me) della cattiva matematica, perché si nasconde il nodo strutturale del problema. Si tratta di un errore didattico che è stato spesso presente nell'insegnamento della geometria: al punto che molti insegnanti non sanno distinguere tra proprietà affini (per esempio le proprietà del baricentro di un triangolo) e proprietà metriche (per esempio le proprietà del circocentro di un triangolo).