se:
- f e g sono funzioni definite nell'intervallo I a valori reali,
- facendo assumere a t tutti i valori di I si ottengono le coordinate (x,y) di tutti i punti di C, ossia vale l'uguaglianza insiemistica

Supponiamo ora che le funzioni f e g siano derivabili su tutto I, e non si annullino contemporaneamente per nessun valore di I. In tal caso C ammette in ogni punto la retta tangente.
Sia P, un punto del piano, assegnato a priori.
La podaria della curva C, rispetto al punto P è definita come il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da P, alle tangenti di C.
Ricaviamo ora le equazioni parametriche di questa podaria nel piano cartesiano.
Sia P(u,v). Il generico punto di C è Q(f(t), g(t)). In base a una nota formula differenziale, la tangente r a C nel punto Q è la retta di equazione cartesiana:

Secondo una nota formula di geometria analitica, la perpendicolare s condotta da P a questa retta ha equazione cartesiana:

Il punto di intersezione delle rette r e s è il generico punto della podaria: le sue coordinate si ricavano risolvendo rispetto a x e y il sistema formato dalle equazioni (1) e (2). Si ottiene:

Queste sono le equazioni parametriche della podaria della curva C rispetto al punto P.

Veniamo ora all'esempio concreto in cui C è la parabola di equazione

con a, b , c numeri reali fissati, e a diverso da 0. Essa è definita dalle equazioni parametriche:

Dunque in questo caso si ha che

Sostituendo le espressioni di f(t) e g(t) nel sistema (*) ed effettuando le opportune semplificazioni, si ricavano le equazioni parametriche della podaria della parabola C rispetto al punto P(u,v):

Come si vede, queste espressioni, nella loro forma generale, sono molto complicate. Tuttavia occorre tenere presente che, quando si applicano le formule a una particolare parabola P, e a un particolare punto P, al posto delle variabili a, b, c si inseriscono numeri (i parametri della parabola), e lo stesso dicasi di u,v (le coordinate del punto P). Il software di calcolo scientifico come, ad esempio, Derive, può venirci in aiuto in questo lavoro di sostituzione. Per opportuni valori numerici le espressioni diventano però così semplici che le si può maneggiare senza ricorrere al calcolatore.

Poniamo, ad esempio, a = 1, b = c = 0: ciò equivale a considerare la parabola C di equazione

le cui equazioni parametriche sono, naturalmente:

Poniamo inoltre u = v = 0, che equivale a scegliere come punto P l'origine, ossia il vertice della parabola C.
Il sistema (**) ci fornisce, per questi valori, le equazioni parametriche della podaria della parabola C rispetto al suo vertice:

Queste equazioni parametriche definiscono una cissoide di Diocle. Una sua equazione cartesiana è:

Osservazione: la direttrice della parabola, la retta y = -1/4, è un asintoto per questa curva.

Le equazioni parametriche della podaria di C rispetto al fuoco P(0,1/4) si ricavano dalle equazioni (**) ponendo u = 0 e v = 1/4:

equivalentemente:

Esse definiscono l'asse x.

In generale la podaria di una parabola rispetto a un punto non è sempre una curva "famosa": lo è soltanto per particolari scelte del punto P. Possiamo citare ancora il caso il cui P è il simmetrico del fuoco rispetto alla direttrice, ossia, per la nostra parabola C, è il punto P(0, -3/4). Allora la podaria è la cosiddetta trisettrice di Maclaurin. Ecco le sue equazioni parametriche, che si ricavano dalle (**) con le opportune sostituzioni:

Un'equazione cartesiana della trisettrice di Maclaurin è la seguente:

Curiosità
La cissoide di Diocle e la trisettrice di Maclaurin sono state introdotte, rispettivamente da un matematico dell'antica Grecia e da un matematico scozzese del Settecento, per effettuare due costruzioni geometriche irrealizzabili con riga e compasso: la duplicazione del cubo e la divisione di un angolo in tre parti uguali.

Calcolo delle (**) con Derive (per aprire il file è necessaria l'applicazione Derive 5 per Windows)