a) Spinta archimedea e pressione
La spinta archimedea è la forza, diretta in verso opposto alla forza di gravità, esercitata su un corpo che venga immerso in un liquido (o più genericamente un fluido, per esempio anche l'aria), per effetto della pressione idrostatica. La pressione idrostatica è la pressione prodotta alla base di una colonna di fluido da un campo gravitazionale (per esempio quello terrestre). Tale pressione è funzione crescente dell'altezza della colonna sovrastante.
Per spiegare questo fenomeno possiamo ragionare come segue. Supponiamo di isolare, in un volume di fluido in campo gravitazionale circa uniforme (come quello entro una stanza) dal resto del fluido una colonna di sezione A.
Il campo gravitazionale agisce su ogni strato del fluido nella colonna (consideriamo per esempio strati spessi un centimetro) con una forza proporzionale alla massa
(m) di ciascuno strato (nel nostro esempio il peso di A centimetri cubi del fluido). Se il fluido considerato è un liquido, che si può assumere in buona approssimazione essere incompressibile, la densità (ρ) di ogni strato non è modificata dalla pressione (P) esercitata dagli strati sovrastanti, e quindi la forza risultante (F) alla base di una colonna di fluido alta h centimetri è la somma del peso (hmg) di h strati:

F = hmg

ove g è l'accelerazione di gravità, e m = ρA1 il peso di uno strato.
Dato che la pressione è definita come rapporto tra la forza esercitata e l'area della sezione (P = F/A) ne segue che nel nostro caso vale la relazione

P = P₀ + hmg/A = hρg,

ove P₀ è la pressione all'estremo superiore della colonna (per esempio la pressione atmosferica).
La pressione idrostatica dovuta a un liquido quindi supera la pressione atmosferica di una quantità pari al prodotto della densità del liquido per l'accelerazione di gravità per l'altezza h della colonna di liquido. La pressione atmosferica P₀ è proprio la pressione idrostatica esercitata dalla colonna d'aria che sempre ci sovrasta.
Nel caso di fluidi compressibili (come l'aria) la relazione P = hρg va modificata in conseguenza della variazione della densità con l'altezza e la temperatura.
Posto ρ = PM/(RT) nell'approssimazione di gas perfetto, si ottiene

P = P₀e-Mgh/RT,

ove M è il peso molecolare dell'aria, R la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta.
Qui l'accelerazione di gravità si è assunta costante per dislivelli trascurabili rispetto al raggio terrestre (circa 6500 km). La pressione idrostatica P(h) quindi esercita una forza F(h) = P(h) A su ogni sezione A di un corpo a essa esposto.
Se immergiamo verticalmente in acqua un cilindro di sezione A e massa m, esso sarà soggetto alla forza gravitazionale mg diretta verso il basso, e alle due forze F₁(h₁)e F₂(h2) dovute alle pressioni idrostatiche rispettivamente agenti sulla faccia superiore (che vede sopra di sé una colonna d'acqua alta h₁) e sulla faccia inferiore corrispondente a una colonna alta h₂. Ovviamente la prima forza è diretta verso il basso e la seconda verso l'alto.
Sia ρ_cilindro = m/(AH) la densità del cilindro (di altezza H) e ρacqua la densità dell'acqua:
dato che h₂ - h1 = H si ottiene per la forza risultante sul cilindro:

= Mg + F1(h₁) - F₂(h₂)=
= ρ_cilindro(AH)g + P₀ + h1ρ_acquag - (P₀ + h2ρ_acquag) =
= (ρ_cilindro - ρ_acqua)(AH)g.

F

Ovvero il peso apparente del cilindro immerso è quello di un cilindro di densità inferiore, e pari esattamente a ρcilindro - ρ_acqua;un altro modo di dire che esso riceve dall'acqua una spinta verso l'alto pari al peso dell'acqua spostata.
Insomma la spinta archimedea è un modo indiretto di manifestarsi della forza gravitazionale.

b) Emisferi di Magdeburgo
L'esperimento con gli emisferi fu un clamoroso exhibit, messo in atto circa 350 anni fa (1654) dal borgomastro di Madgeburgo Otto von Guericke, davanti all'imperatore Ferdinando III. Egli aveva costruito due mezze sfere cave di acciaio con i bordi ben lisci e combacianti, una delle quali portava un rubinetto attraverso cui poteva venire estratta l'aria quando le emisfere venivano affacciate.
Tale operazione venne condotta con una macchina pneumatica (che oggi chiameremo semplicemente una pompa) da lui stesso progettata. Chiuso il rubinetto vennero usati due potenti motori biologici per tentare invano di separare le due emisfere, che la semplice pressione atmosferica spingeva l'una contro l'altra: due tiri di 8 cavalli ciascuno (oggi diremmo che non bastava un motore da 6 kW).
Poi semplicemente aprendo il rubinetto e lasciando fluire l'aria nella cavità tra gli emisferi essi si lasciarono facilmente separare.
Si tratta di un esperimento per dimostrare l'esistenza di P₀ che viene spesso condotto nelle nostre scuole con versioni in scala ridotta dell'apparato originale.