Un teorema è un enunciato la cui verità è stata dimostrata, deducendola da altri enunciati veri. Questi possono essere a loro volta teoremi che sono stati precedentemente dimostrati, oppure enunciati la cui verità è invece assunta a priori: questi ultimi sono i cosiddetti assiomi, e sono i punti di partenza del sistema di concatenazioni logiche che costituiscono l'impianto di una teoria. Nel caso della geometria euclidea del piano, esposta negli Elementi di Euclide (300 a.C.), gli assiomi o postulati sono cinque enunciati che esprimono le proprietà fondamentali degli enti geometrici primitivi, il punto e la retta, a partire dei quali tutti gli altri sono definiti. Gli assiomi sono i seguenti:

I Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto;

II e che una retta terminata (leggi: segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta;

III e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (leggi: raggio);

IV e che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro;

V e che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

(Ossia: se la retta r forma con le rette s e t gli angoli a e b, entrambi minori di un angolo retto, allora le rette s e t si intersecano, rispetto ad r, dallo stesso lato in cui si trovano gli angoli a e b.)

La più nota formulazione equivalente del V postulato è la seguente:

"Per un punto esterno a una retta data è possibile condurre una e una sola parallela alla retta stessa."

Da questa versione deriva il nome di assioma delle parallele, con cui il postulato spesso è chiamato. Esso è passato alla storia perché per molti secoli vari matematici, a partire dallo stesso Euclide, si arrovellarono intorno al suo contenuto. Tutti possono notare che esso è in qualche modo diverso dagli altri quattro: in effetti non possiede la loro stessa elementare evidenza. Ciò alimentò il sospetto che esso non fosse affatto un enunciato primitivo, ma che potesse invece essere dedotto dai primi quattro assiomi. In tal caso sarebbe stato un teorema, e sarebbe dovuto scomparire dalla lista degli assiomi.

Nel corso della storia si sono succeduti innumerevoli tentativi di dimostrazione, tutti però viziati dal fatto che i loro autori, a volte inconsciamente, fecero intervenire assiomi non compresi nell'elenco di Euclide.
Ecco una breve carrellata delle supposizioni aggiuntive utilizzate da alcuni noti matematici:

- Tolomeo (II secolo d.C.), matematico e astronomo egizio.
1) Due rette non racchiudono alcuna regione di spazio.
2) Se una retta interseca due rette parallele, tutto ciò che vale per gli angoli interni formati da una parte della retta, vale anche per quelli formati dall'altra parte.

- Proclo (412-485), filosofo e commentatore greco. Se da un punto si prolungano indefinitamente due rette formanti un certo angolo, le successive distanze fra le due rette finiranno per superare ogni grandezza finita.

- Nasîr-Eddin (1201-1274), matematico e astronomo persiano. Due rette non parallele si avvicinano l'una all'altra in una direzione e si allontanano nell'altra.

- John Wallis (1616-1703), matematico inglese.
1) Esiste sempre un triangolo, simile a un triangolo assegnato, di cui è fissato ad arbitrio il lato corrispondente a un lato del triangolo assegnato.
2) La traiettoria di un punto, che si muove di moto traslatorio continuo, è una linea continua.

Come dimostrato da Ugo Cassina negli anni cinquanta, in realtà nella dimostrazione di Wallis si può fare a meno della supposizione 2).

- Adrien-Marie Legendre (1752-1833), matematico francese.
Diede varie dimostrazioni, utilizzando per ognuna un diverso enunciato supplementare.
1) Esistono triangoli simili di dimensioni diverse.
2) Dati tre punti non allineati, per essi passa sempre un cerchio.
3) La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti.

"Se in un quadrilatero ABCD gli angoli in A e B sono retti, e i lati AC e BD sono uguali, allora anche gli angoli in C e D sono retti."

Saccheri scelse di procedere per assurdo. Egli suppose che gli angoli in C e in D non fossero retti, e provò che allora erano possibili solo due casi: o essi erano uguali allo stesso angolo ottuso, o essi erano uguali allo stesso angolo acuto. Se ciascuna di queste ipotesi avesse prodotto una conclusione contraddittoria, allora esse sarebbero risultate entrambe impossibili: quindi gli angoli in C e in D sarebbero dovuti essere necessariamente retti, e ciò avrebbe dimostrato l'assioma delle parallele. Nell'ipotesi dell'angolo ottuso Saccheri dedusse che gli angoli erano retti, una palese contraddizione. Nell'ipotesi dell'angolo acuto egli pervenne a un enunciato che per quanto non propriamente contraddittorio, gli parve così "ripugnante" da considerarlo geometricamente inaccettabile.

L'assenza di una palese contraddizione nell'ipotesi dell'angolo acuto attirò l'attenzione di alcuni studiosi, tra cui il matematico e fisico svizzero Johann Heinrich Lambert (1728-1777) che avanzò la congettura che una geometria basata su tale ipotesi, per quanto contraria all'intuizione spaziale che ci proviene dall'osservazione del mondo reale, potesse comunque essere logicamente sostenibile, e quindi potesse essere concepita, sia pure sul piano puramente teorico. Questa idea aprì la strada alla nascita delle geometrie non euclidee, sviluppate, nel corso dell'Ottocento, da Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Bernhard Riemann (1826-1866) in Germania, Janos Bolyai (1802-1860) in Ungheria e Nicolaj Ivanovic Lobachevsky (1793-1856) in Russia. Nella geometria iperbolica (fondata sull'ipotesi dell'angolo acuto) e nella geometria ellittica vengono assunti i postulati I-IV, mentre il V postulato euclideo viene sostituito, rispettivamente, dal seguente:

"Per un punto esterno a una retta data è possibile condurre più di una parallela alla retta stessa."

e dal seguente:

"Per un punto esterno a una retta data non è possibile condurre alcuna parallela alla retta stessa."

La possibilità di costruire teorie geometriche in cui valgono i primi quattro postulati euclidei, ma non il quinto, pose fine a un secolare dilemma: l'assioma delle parallele è in effetti indipendente dai precedenti, non può essere dedotto da questi in nessun modo. Euclide aveva quindi ragione a includerlo nella sua lista di postulati.

Il problema di scegliere gli assiomi in maniera appropriata si pone ogniqualvolta si vuole fondare una nuova teoria matematica, oppure sistemarne una che già esiste, ma non è completamente formalizzata, come è avvenuto, ad esempio, per l'aritmetica e la teoria degli insiemi tra l'Ottocento e il Novecento.

Gli assiomi devono essere indipendenti, e, soprattutto, devono consentire di dedurre tutti i teoremi che si ritengono opportuni. Tuttavia, per quanto si arricchisca il sistema di assiomi, nell'aritmetica e nella teoria degli insiemi si troveranno sempre nuovi enunciati indipendenti da quegli assiomi: essi risulteranno quindi non dimostrabili, né confutabili, e potranno essere a loro volta aggiunti alla lista degli assiomi; lo stesso dicasi delle loro negazioni. Questo è quanto stabilito dal Teorema di Incompletezza di Gödel (1931). Un esempio di enunciato indecidibile nell'ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fränkel (priva dell'assioma della scelta) è noto come ipotesi del continuo e riguarda la nozione di equipotenza (ricordiamo che due insiemi si dicono equipotenti se possono essere messi in corrispondenza biunivoca): se un insieme non è equipotente a nessun sottoinsieme di N, allora ha un sottoinsieme equipotente a R. In termini intuitivi: se un insieme ha più elementi di N, allora ne ha almeno quanto R ossia: non esiste alcun insieme il cui "numero"(transfinito) di elementi sia strettamente compreso tra il numero di elementi di N e quello di R.

Nei primi decenni del Novecento molti matematici, su invito di David Hilbert (1862-1943), si affannarono cercando di dimostrare questo enunciato: nel 1963 Paul Cohen pose fine alla sfida dimostrando la sua indecidibilità.
Se il V postulato di Euclide era un assioma in odore di teorema, l'ipotesi del continuo era un presunto teorema che finì per rivelare la sua natura di potenziale assioma.

Curiosità
Nel volume I dell'opera Matematica come Scoperta, Giovanni Prodi propone un sistema di nove assiomi per la geometria del piano e le sue trasformazioni.
Un articolo di Carlo Maturo, pubblicato nel Periodico di Matematiche, Serie VII, Vol. 7, luglio-dicembre 2000, dimostra che, in realtà, il IX assioma può essere dedotto dai precedenti.