Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) [...] nel 1822 pubblicò il teorema in questione e altri teoremi affini in un opuscolo in tedesco dal titolo lungo e complicato. Il fatto che la circonferenza dei nove punti sia nota come circonferenza di Feuerbach, non si spiega con ragioni di priorità, ma è giustificato dalle altre interessanti proprietà di tale circonferenza messe in luce da Feuerbach. Egli dimostrò che il centro della circonferenza dei nove punti giace sulla retta di Eulero [la retta che contiene l'ortocentro, il baricentro e il circocentro, N.d.R.] e si trova tra l'ortocentro e il circocentro, a uguale distanza dall'uno e dall'altro. Ancor più notevole è la proprietà contenuta in quello che oggi è noto come teorema di Feuerbach: la circonferenza dei nove punti di qualsiasi triangolo è tangente internamente al cerchio inscritto e tangente esternamente ai tre cerchi ex-inscritti. Tale teorema è stato definito "il più bel teorema di geometria elementare che sia stato scoperto dai tempi di Euclide in poi" (da C.B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori 1990).

Quanto alla dimostrazione, eccone qui una piuttosto elementare, secondo il seguente schema. Si prende la circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati e si dimostra che passa anche per gli altri punti, prima i piedi della altezze, poi i punti medi dei segmenti ortocentro-vertici.

Dato il triangolo ABC siano A', B' e C' i punti medi dei lati opposti a A, B, e C, rispettivamente. Siano AD, BE e CF le altezze che si incontrano nell'ortocentro H e siano L, M e N i punti medi dei segmenti che congiungono l'ortocentro con i vertici.

Prima parte

Consideriamo la circonferenza  c passante per A', B' e C' e dimostriamo che anche D appartiene a c.

B'A'=(1/2)AB perché congiunge i punti medi dei lati AB e AC. Ma anche C'D=(1/2)AB (basta pensare il triangolo ABD inscritto in una circonferenza di cui C'B, C'D e C'A sono raggi).

Con un ragionamento analogo si dimostra che DB'=C'A' perché entrambi uguali a (1/2)AC. Quindi i triangoli C'DB' e B'A'C' sono uguali.

Gli angoli C'DB e C'A'B' sono uguali e insistono sulla stessa corda C'B' per cui i vertici D e A'  devono appartenere alla stessa circonferenza. In modo analogo si dimostra che i punti E ed F appartengono alla circonferenza.

Seconda parte

Sia L il punto di intersezione fra c e CF. Il triangolo C'FL è rettangolo in F e quindi inscritto in una semicirconferenza. Quindi anche A'C'L è inscritto in una semicirconferenza e l'angolo C'A'L è un angolo retto. D'altra parte C'A' è parallelo ad AC, perché congiunge i punti medi dei lati BA e BC. Essendo quindi A'L parallelo a BH e A' punto medio di BC, ne segue che L divide CH in due parti uguali.

Il punto d'intersezione di c con CH coincide dunque con (l'unico) punto medio di CH, segmento che congiunge l'ortocentro con il vertice C.

Con un ragionamento analogo si dimostra che la circonferenza c passa per i punti M ed N.

Naturalmente esistono molte altre dimostrazioni; diverse si trovano in rete, purtroppo i siti che ne parlano sono tutti in inglese. Io ve ne segnalo alcuni, ma basta cercare "nine point circle" per trovarne molti altri. Un'elegante e ben spiegata dimostrazione si trova nel sito Foundations of Geometry, insieme a molte altre informazioni utili.

Al sito Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles viene riportata una dimostrazione che utilizza i numeri complessi. Se non avete mai visto i numeri complessi rappresentati nel piano cartesiano può essere un po' ostica, ma è sicuramente molto interessante. C'è anche un bell'applet java che mostra tutti gli elementi di un triangolo.

Come potete immaginare, una circonferenza del genere ha molte proprietà sorprendenti. Per esempio abbiamo visto sopra che il suo centro (che dalla nostra dimostrazione risulta essere il punto di intersezione dei segmenti congiungenti i punti medi dei lati con i punti medi dei segmenti ortocentro-vertice) è punto medio del segmento che congiunge circocentro e ortocentro. Inoltre il suo raggio è metà di quello della circonferenza circoscritta. Ne segue che si può ottenere questa circonferenza trasformando quella circoscritta per mezzo di una omotetia di centro l'ortocentro e ragione 1/2. Lascio a voi il gusto di scoprirne altre.

Per una dimostrazione del teorema di Feuerbach potete vedere H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, Geometry revisited, The Mathematical Association of America 1967.