L'elettromagnetismo classico è coerente con la relatività ristretta: le equazioni di Maxwell infatti sono invarianti per trasformazioni di Lorentz. Paradossi del tipo di quello proposto possono assai opportunamente trovare spazio per un approfondimento del significato delle equazioni dell'elettromagnetismo e per l'avvio oppure per la ripresa di un discorso sulla relatività ristretta. In una nota del 1952 Einstein scrisse "Ciò che mi condusse più o meno direttamente alla teoria della relatività ristretta fu la convinzione che la forza agente su un corpo in moto in un campo magnetico non è altro che un campo elettrico." In R.S. Shankland, Michelson - Morley Experiment, American Journal of Physics, 16, 1964.

Elettricità e magnetismo non sono fatti indipendenti: un campo che sia puramente magnetico o puramente elettrico in un sistema di riferimento inerziale può avere componenti sia elettriche che magnetiche in un altro sistema di riferimento inerziale.

Per trattare il problema con un minimo di strumenti matematici si può osservare che la situazione paradossale non cambia sostituendo all'ago magnetico una particella carica e ponendosi in un sistema di riferimento S in cui essa sia in moto con velocità uniforme parallela al filo, fermo, ed imponendo che tale velocità sia la stessa velocità di trascinamento degli elettroni di conduzione nel filo.

In S gli ioni positivi nel filo sono in riposo e la loro densità di carica è opposta a quella degli elettroni in moto così che la densità di carica complessiva nel filo è nulla e non c'è campo elettrico al di fuori del filo. La forza magnetica agisce in modo che la particella è accelerata e, per il principio di relatività, ciò dovrà accadere in ogni sistema inerziale.

Un osservatore in un altro sistema inerziale S' che vede la particella ferma e il filo in moto concluderà che deve esserci un campo magnetico dovuto al moto delle cariche positive nel filo ma che la forza magnetica sulla particella ferma è nulla.

Per l'osservatore in S' la forza sulla particella sarà dovuta a un campo elettrico, ma ciò è possibile solo se la densità della carica elettrica nel tratto di filo non è più nulla.

Il campo elettrico generato da un filo uniformemente carico viene trattato fra le applicazioni del teorema di Gauss in molti testi di fisica della scuola secondaria.

La densità della carica è data dal rapporto fra la carica e il volume del tratto di filo in cui è contenuta. La carica è una quantità invariante ma, in accordo con la relatività ristretta, nel sistema dove si osservano le cariche in movimento lungo il filo le distanze misurate fra le cariche sono contratte rispetto alla distanza a riposo. Allora la densità delle cariche positive in S' è maggiore, infatti gli ioni positivi sono più vicini fra loro che in S. La densità delle cariche negative invece è minore in S', gli elettroni sono più distanziati fra loro che in S. Il fatto interessante è dunque che l'osservatore in S' troverà che il tratto di filo non è elettricamente neutro ma carico positivamente e che la particella al di fuori del filo risente di una forza dovuta al campo elettrico.

Dobbiamo allora concludere che la carica non è una quantità invariante in diversi sistemi di riferimento inerziali? Non è così. In parti differenti del circuito elettrico è differente il verso del moto degli elettroni di conduzione: un segmento del filo può essere caricato positivamente ed un altro negativamente. Il circuito nel suo complesso rimane elettricamente neutro.

Per una trattazione più diffusa e quantitativa si veda Feynman, Leighton, Sands, The Feynaman Lectures on Physics, vol. II, par. 13-6, Addison Wesley 1966. La lettura è accessibile a studenti della scuola superiore che già possiedano le nozioni comunemente riportate nei libri di testo sull'elettromagnetismo e la relatività ristretta. Una trattazione semplificata, ma con uno sviluppo quantitativo, di analogo problema si trova in: J. Orear, Fisica Generale, par. 11.1, Zanichelli 1985. In quest'ultimo testo un paradosso analogo a quello proposto costituisce l'avvio alla trattazione della relatività ristretta.