Il nastro di Moebius (Moebius strip in inglese) è l'esempio più semplice di superficie non orientabile. Intuitivamente una superficie (pensiamola immersa nello spazio¹) è detta orientabile quando è possibile definire una faccia interna e una esterna, tali che per passare dall'una all'altra faccia si debba "attraversare" la superficie stessa. La superficie è detta non orientabile nell'altro caso. Per esempio, la superficie di rivoluzione di un cilindro è orientabile, così come la superficie sferica (ciò che permette tra l'altro, di gonfiare un pallone...) e il cosiddetto toro, ovvero la superficie di una ciambella con un buco, o anche la superficie di una camera d'aria di una bicicletta (vedi sopra). Queste ultime due superfici sono chiuse senza bordo. Il nastro di Moebius si può facilmente "costruire"; si parte da un rettangolo ABCD (una striscia di carta per esempio), e si identificano (concretamente, si incollano) i lati AD e BC, con B~D e A~C.

Per rendersi conto della non orientabilità, basta o guardare questo disegno di Escher:

Poi si prende una matita, la si appoggia ortogonalmente alla superficie e si trasporta parallelamente a se stessa lungo una linea che passa per il centro della figura. Nel modello concreto, sul rettangolo ABCD basta disegnare (da entrambe le parti) la linea che congiunge i punti medi dei segmenti AD e BC, e muovere la matita lungo questa linea; dopo una rotazione completa, la matita non si sovrappone a se stessa, ma "punta" nella direzione opposta. (Attenzione: la striscia di carta va pensata "senza spessore"). Si noti che se nel rettangolo si identificano i lati AD e BC con A~B e D~C, si ottiene la superficie di rivoluzione di un cilindro. Con la tecnica di identificazione di segmenti, si possono ottenere, a partire dal rettangolo, altre superfici. Per capire come, conviene pensare i lati del rettangolo ABCD orientati (si disegnino delle freccette, per esempio). Se i lati si pensano orientati A->B, D->C, D->A,C->B, e se si identificano i lati AB con DC e i cerchi risultanti tra di loro, si ottiene un toro (che è una superficie orientabile). Se si inverte l'orientazione di un lato (diciamo BC, cioè si mette la freccia nel senso B->C), si ottiene, mediante identificazione dei lati, una superficie non orientabile detta bottiglia di Klein. Purtroppo, la bottiglia di Klein non è immergibile nello spazio ordinario, e quindi non è "costruibile".

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1. La proprietà di essere orientabile o no è una proprietà intrinseca del nastro di Moebius e non dipende dalla sua immersione (o rappresentazione) nello spazio ordinario.

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Link consigliati

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http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/
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