Il concetto di differenziale è strettamente legato a quello di approssimazione lineare di una funzione in un punto.

Partiamo da un esempio. Vogliamo calcolare sen 0,03. La geometria elementare ci permette di calcolare i valori della funzione seno soltanto per alcuni valori dell'angolo (quali 0, pi greco ecc.).

Cerchiamo dunque un valore approssimato di sen 0,03; come possiamo procedere? Prendiamo una funzione f reale di variabile reale, cioè definita su un insieme di numeri reali (per esempio un intervallo) a valori reali. Dire che f è differenziabile in un punto x equivale a dire che il grafico di f si può approssimare con una retta (detta retta tangente) in prossimità del punto (x,f(x)). Questa proprietà ci permette, in particolare, di calcolare valori approssimati della funzione, quando la sua espressione analitica non lo consente. Nel caso suddetto, la funzione sen x è differenziabile in x=0 e ammette in questo punto retta tangente y=x (bisettrice del 1° e 3° quadrante); è dunque ragionevole approssimare il valore di sen 0,03 con il valore che assume la retta tangente in quel punto (molto più facile da calcolare!), ovvero 0,03, che in vari casi può essere un'approssimazione sufficiente. Bisogna sottolineare che, per funzioni di una variabile reale, differenziabilità equivale a derivabilità: una funzione f è differenziabile in un punto se e solo se è derivabile in tale punto, cioè se esiste finito il limite del rapporto incrementale, che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente.

Poiché quest'ultimo concetto può apparire più facile da interpretare, perché si introduce il concetto di differenziabilità? Il motivo è dovuto al fatto che, per funzioni in più variabili (o anche situazioni più generali), il concetto di differenziabilità si estende in modo naturale, mentre quello di derivata ha un ruolo meno importante. Per esempio, se una funzione di due variabili reali, a valori reali, è differenziabile in un punto allora esiste un piano tangente al grafico della funzione in quel punto; nel caso n-dimensionale, avremo più in generale un iperpiano tangente. In ogni caso si tratta di approssimare la variazione di una funzione, nell'intorno di un punto, tramite una funzione lineare (retta, piano o iperpiano a seconda della dimensione). Definizioni ed enunciati precisi su questo argomento si possono trovare nella maggior parte dei testi di matematica del primo biennio universitario.